Question

如图,已知抛物线经过点,,三点,点与点关于轴对称,点是线段上的一个动点,设点的坐标为,过点作轴的垂线交抛物线于点,交直线于点.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;

(2)在点运动过程中,是否存在点,使得以为直径的圆与轴相切?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;

(3)连接,将绕平面内某点顺时针旋转,得到,点、、的对应点分别是点、、.若的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”, 那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标.

Answer

(1)；(2)；(3)2个；A1横坐标为1或.

【解析】

（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）先求出BD直线解析式，根据题意得到2OP=QM=直径d即可求解；

（3）两个和谐点；AO＝1，OC＝2，设A1（x，y），则C1（x＋2，y−1），O1（x，y−1），①当A1、C1在抛物线上时，②当O1、C1在抛物线上分别代入求解.

（1）设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，

将点A（−1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，

解得，

∴；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，

∴D（0，−2）．

设直线BD的解析式为y＝kx−2．

∵将（4，0）代入得：4k−2＝0，

∴k＝．

∴直线BD的解析式为y＝x−2．

当点,使得以为直径的圆与轴相切，

∴2OP=QM= d

∵P

∴Q（m,）,M(m, m−2)

故2m=（）-（m−2）

解得m=2或m=-4,

∵点在线段上，故m=-4不符合题意，

故m=2；

（3）两个和谐点；

∵AO＝1，OC＝2，

设A1（x，y），则C1（x＋2，y−1），O1（x，y−1），

∴①当A1、C1在抛物线上时，

∴

∴，

∴A1的横坐标是1；

②当O1、C1在抛物线上时，

，

∴

∴A1的横坐标是.