Question

如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）

（1）图中一定有　   　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　   　，∠BON的度数为　   　；

（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；

（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．

Answer

(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3

【解析】

(1)由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；

(2)用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.

(3)先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.

（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，

∴∠AOC＝∠AOD＝90°，

∴∠BOC＝∠BOD＝90°，

∴图中一定有4个直角；

当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，

∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，

∠BON＝90°+24°＝114°；

故答案为：4；144°，114°；

（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，

∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，

∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，

∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，

∴（15t﹣90°）＝×12t，

解得t＝10，

∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；

（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，

∴15t+90°+12t＝180°，

解得t＝，

当∠BOM＝90°时，15t＝90°，

解得t＝6，

①如图所示，当0＜t＜时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，

∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，

∴＝，（不是定值）

②如图所示，当＜t＜6时，

∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，

∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，

∴＝=3，（是定值）

综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．