Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于点Q

（1）判断△DAQ与△APB是否相似，并说明理由．

（2）当点P在BC上移动时，线段DQ也随之变化，设PA＝x，DQ＝y，求y与x间的函数关系式，并求出x的取值范围．

Answer

（1）△DAQ∽△APB，见解析；（2）y＝，2＜x＜2

【解析】

（1）根据四边形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根据DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可证出△DAQ∽△APB；

（2）根据△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y代入得出，y＝．根据点P在BC上移到C点时，PA最长，求出此时PA的长即可得出x的取值范围．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠DAP＝∠APB，

∵DQ⊥AP，

∴∠AQD＝90°，

∴∠B＝∠AQD，

∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，

∴，

∵AB＝2，四边形ABCD是正方形，

∴DA＝2，

∵PA＝x，DQ＝y，

∴，

∴y＝．

∵点P在BC上移到C点时，PA最长，此时PA＝，

又∵P是BC边上与B、C不重合的任意一点，

∴x的取值范围是；2＜x＜2．