Question

在直角三角形中，已知，内有一点，则的最小值为_______________________。

Answer

【解析】

将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′处，连接PP′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝6，即AB′的长，再根据旋转的性质求出△APP′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得AP＝PP′，然后可得C、P、P′、B′四点共线时，PA＋PB＋PC取最小值，再利用勾股定理列式求出CB′即可．

【解析】
如图，将△APB绕点A顺时针旋转60°至△AP′B′处，连接PP′，

∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，∠BAC＝30°，

∴AB＝6，

∴AC＝，

∵△APB绕点A顺时针方向旋转60°得到△AP′B′，

∴AP＝AP′，∠PAP′＝60°，AB′＝AB＝6，BP＝P′B′，∠B′AC＝∠BAC＋60°＝30°＋60°＝90°，

∴△APP′是等边三角形，

∴AP＝PP′，

∴PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC，

∴当C、P、P′、B′四点共线时，PA＋PB＋PC取最小值，

此时PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC＝CB′＝，

故答案为：.