Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______.

Answer

8

【解析】

如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案.

如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，

∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC，

∴BH=BC=2，

∴AH==，

∵S△ABC=，

即，

∴CN=4，

在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3，

∴BN=BA+AN=8，

∵四边形CDEF是正方形，

∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD，

∵∠CDN+∠NCD=90°，

∴∠EDM=∠DCN，

又∵∠EMD=∠DNC=90°，

∴△EDM≌△DCN，

∴EM=DN，

设BD=x，则DN=8-x，

∴S△BDE===，

∵，

∴S△BDE的最大值为8，

故答案为：8.