Question

如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，且，.若动点从开始沿向以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点从开始沿向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为秒.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）当时，在轴上存在点，使的周长最小，请求出此时点的坐标，并直接写出的周长最小值；

（3）在双曲线上是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）点坐标为，；（3）存在，或2

【解析】

（1）通过AB,BC的长度，求出点B的坐标，将点B的坐标代入即可求出反比例函数的表达式；

（2）当时，可求出E,F的坐标，作E关于y轴的对称点E’，连接E’F，则E’F与y轴的交点即为所求的点D，然后再求的周长的最小值即可；

（3）分别用含t的代数式表示出E,F,B的坐标，分可以分别与、、相对三种情况，根据相对关系表达出坐标，最后将坐标代入反比例函数解析式求解.

（1）

∵点B在反比例函数图像上，

（2）时，， ，，

∴，.

作点关于轴得对称点，连接交轴与一点，即为所求的点，

设直线解析式为

将点E’,F代入解析式中得，解得，

∴直线解析式为，

令得，

∴点坐标为，

在中，由勾股定理得，，

在中，由勾股定理得，，

∴；

（3）存在，或2，

由题意得：、、，

①与相对时，此时M在F的右侧，，

∵四边形BEFM是平行四边形，

，

，

∵点M在反比例函数上，

∴，解得，

由于，∴；

②与相对，此时M在E的正上方，，

∵四边形EFBM是平行四边形，

，

∵点M在反比例函数上，

∴，解得或2，

由于，∴.

③与相对时，点M不在反比例函数图像上，所以此时不存在点M

综上所述，或2