Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．

（1）求证：△ADE≌△BFE；

（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，理由详见解析.

【解析】

（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．

（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠BFE，

∵E为AB的中点，∴AE＝BE，

在△ADE和△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）【解析】
EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF，

理由为：连接EG，

∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

由（1）△ADE≌△BFE得：DE＝FE，即GE为DF上的中线，

∴GE垂直平分DF．