Question

（1）.如图①，已知AB∥CD，求证：∠A+∠C=∠E

（2）直接写出当点E的位置分别如图②、图③、图④的情形时∠A、∠C、∠AEC之间的关系.

②中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为             ；

③中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为             ；

④中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为             ；

（3）在（2）中的3中情形中任选一种进行证明.

Answer

（1）证明见解析；（2）②中：∠C+∠A=∠AEC；③中：∠C=∠A+∠AEC；④中：∠A=∠C+∠AEC；（3）证明见解析.

【解析】

（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得∠1=∠A，∠2=∠C，进而证得∠A+∠C =∠1+∠2=∠E；

（2）应用（1）中的结论即可得到各角之间的关系式；

（3）连接AC并延长，由∠1是△AEC的外角，得到∠1=∠E+∠EAC，等量代换即可.

【解析】
（1）过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴∠1=∠A，∠2=∠C，

∴∠A+∠C =∠1+∠2=∠CEA.

(2) ②中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠C+∠A=∠AEC，

③中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠C=∠A+∠AEC，

④中∠C、∠A、∠AEC之间的关系为∠A=∠C+∠AEC；

(3)如果选情形③，

证明：连接AC并延长，

∵AB∥CD

∴∠2=∠3

∵∠1是△AEC的外角，

∴∠1=∠E+∠EAC，

∴∠1+∠2=∠E+∠EAC+∠3，

∴∠DCE=∠AEC +∠EAB.