Question

在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°， AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， CD=4，AE=10，则四边形ABCD的周长是____________________.

Answer

28

【解析】

根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，根据角平分线的性质得到CE=CF，进而得到AE=AF，再根据∠BAD+∠BCD=180°，证明△ECD≌△FCB，得到BF=DE,CD=BC,再根据四边形周长的定义即可求解.

根据题意作图，延长AB，作CF⊥AB延长线于F，

∵CE⊥AD，AC平分∠BAD，

∴CE=CF，∠BAC=∠DAC，∠F=∠AEC=90°，

又∵AC=AC，

∴△ACF≌△ACE，

∴AE=AF=10，

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC+∠FBC=180°

∴∠FBC=∠EDC，

又CF⊥AB，CE⊥AD，CF=CE,

∴△FCB≌△ECD

∴BC=DC=4

∴四边形ABCD的周长

=AB+BC+DC+AD

=AF-BF+CD+CD+AE+DE

=AF+2CD+AE

=2AE+2CD

=28

故填：28.