Question

如图，已知，点在边上，，点是边上一个动点，若周长的最小值是6，则的长是（    ）

A. B. C. D.1

Answer

D

【解析】

作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，此时△ABC周长最小，根据题意及作图可得出△OAD是等腰直角三角形，OA=OE=3，，所以∠OAE=∠OEA=45°，从而证明△BOE是直角三角形，然后设AB=x，则OB=3+x，根据周长最小值可表示出BE=6－x，最后在Rt△OBE中，利用勾股定理建立方程求解即可.

【解析】
作点A关于OM的对称点E，AE交OM于点D，连接BE、OE，BE交OM于点C，

此时△ABC周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，

∵△ABC周长的最小值是6，

∴AB+BE=6，

∵∠MON=45°，AD⊥OM，

∴△OAD是等腰直角三角形，∠OAD=45°，

由作图可知OM垂直平分AE，

∴OA=OE=3，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠AOE=90°，

∴△BOE是直角三角形，

设AB=x，则OB=3+x，BE=6－x，

在Rt△OBE中，，

解得：x=1，

∴AB=1.

故选D.