Question

已知：如图，在中，，点分别是直线上一个动点。

（1）若是等腰三角形，用直尺和圆规作出点（不写作法，保留作图痕迹），直接写出的长；

（2）若，求的长。

Answer

（1）作图见解析，的长分别是，4，1，9；（2）或7

【解析】

（1）分三种情况作出图形，再求线段长即可；

（2）先作出符合题意的图形，再利用全等三角形的性质求线段长即可.

【解析】
（1）作图如下：

①如图，尺规作AB的垂直平分线交直线OB于点C1，此时设OC1=x，则AC1=BC1=4－x，

在Rt△AOC1中，，解得x=，即OC1=；

②如图，以A为圆心，AB为半径作圆，交直线OB于点C2，此时AB=AC2，

又∵AO⊥OB，

∴OC2=OB=4；

③如图，以B为圆心AB为半径作圆，交直线OB于点C3，C4，

在RtAOB中，AB=，则此时BC3=BC4=AB=5，

∴OC3=BC3－OB=1，OC4=BC4+OB=9，

综上所述，OC的长为，4，1，9；

（2）①如图：

∵△ABC≌△CDA，

∴，

∴，

∴，

∴；

②如图：

∵△ABC≌△CDA，

∴，

∴，

∴，

∴，

综上所述，AD的长为1或7.