Question

如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点， ∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5.

（1）求BC的长；

（2）求证：BD＝CD.

Answer

(1)、10；(2)、证明过程见解析

【解析】

试题(1)、根据等腰直角三角形的性质得出∠BAC=45°，从而得出∠CAD=30°，根据垂直得出AC=BC=10；(2)、过D作DF⊥BC于F，然后证明Rt△DCE和Rt△DCF全等，从而得出CF=CE=5，根据BC=10得出BF=FC，从而得出答案.

试题解析：(1)、在△ABC中， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°．

∵∠BAD＝15°，∴∠CAD＝30°． ∵CE⊥AD，CE＝5，∴AC＝10．∴BC＝10．

(2)、过D作DF⊥BC于F.在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，∴∠ACD＝75°．

∵∠ACB＝90°，∴∠FCD＝15°． 在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，∴∠ACE＝60°．

∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝15°．∴∠ECD＝∠FCD.∴DF＝DE.

在Rt△DCE与Rt△DCF中，∴Rt△DCE≌Rt△DCF.

∴CF＝CE＝5．∵BC＝10，∴BF＝FC． ∵DF⊥BC，∴BD＝CD．