Question

某学校科技小组的同学们设计了一个自动冲刷厕所的水箱模型，这种水箱模型能把自来水管供给的较小流量的水储存到一定量后，自动开启放水阀门，冲刷便池中的污物．如图是这种水箱模型的主要部件的截面示意图．图中水箱A是一个底面积为200cm²的圆柱桶，桶的深度为60cm，上面敞口．浮筒B是一个质量为m=0.2kg的空心密封圆柱体，其底面积S₁为80cm²，高为30cm；放水阀门C是一个质量可忽略的圆柱体，其底面积S₂为40cm²，厚度d为1cm；放水阀门C能将排水管口恰好盖严，阀门上固定一根轻杆与浮筒相连，杆的长度为L．当水箱中的水深达到H时，浮筒B刚好能将放水阀门C打开．问
（1）请求出水箱中的水深H与轻杆L的函数关系．
（2）当L为多长时，进水管不管进水多长时间也无法把阀门C打开

Answer

仔细读题，明确题意：
（1）当浮筒B所受的浮力大于B的重力与杆的拉力之和时才能将阀门打开，设浮筒B浸入水中深度至少为h时阀门C刚好被打开，根据受力分析与浮力的计算公式求出h，则H=h+d+L；
（2）当浮筒B全部浸没时浮力仍小于或等于B的重力与杆的拉力之和时，不管进水多长时间都无法把阀门C打开；由（1）中H与L的关系以及H≤30cm+L+d，求出L的长度．
【解析】
由题知：H=60cm；mB=0.2kg；S1=80cm2；hB=30cm；S2=40cm2；d=1cm；
（1）设浮筒B浸入水中的深度至少为h时阀门C刚好被打开；
方法一：
以B为研究对象，受力分析如图甲所示：F浮=GB+F拉
以C为研究对象，受力分析如图乙所示：F拉′=F压
因为F拉=F拉′，所以F浮=GB+F压
即：ρ水gS1h=mBg+ρ水gS2（h+L）
代入数据解得：h=5+L
则水深为：H=h+L+d
即：H=2L+6cm
方法二：
以B和C整体作为研究对象ρg（H-L-d）S1-ρg（H-d）S2=mg
解得：
代入数据得：H=2L+6cm
（2）根据题意可知：
H≤30cm+L+d
H≤60cm
H=2L+6cm
由以上3式的L≤25cm
答：（1）水箱中的水深H与轻杆L的函数关系是：H=2L+6cm
（2）当L≤25cm时，进水管不管进水多长时间也无法把阀门C打开．