Question

一个内部含有石块的冰块放在密度为ρ=0.95×10³kg/m³的液体中恰好能悬浮．一个底面积为S=100cm²的圆柱形容器中装有水，将这个含有石块的冰块放入水中后，容器中的水面较原来升高了h₁=2.09cm．待冰熔化后，水面又下降了h₂=0.1cm．求冰块内石块的密度为多少（冰的密度为0.9×10³kg/m³）？

Answer

在密度为ρ的液体中悬浮，说明ρ=ρ混（ρ混为含有石块的冰块密度），放入水中后，因为ρ水＞ρ，所以ρ水＞ρ混，放入水中后漂浮．分析浮冰在水中的变化是该题的难点，根据F浮=G，求出含有石块的冰块重，从而可知其质量，冰溶化后石块沉入水底，出现了一个支持力，说明在冰溶化成水的过程中浮力减小了，V排减小了，这是水面下降的主要原因，再根据冰熔化前后受到的浮力和冰化水，质量不变、重力不变，求得V石，再根据ρ石V石-ρ水V石=10g，即可求得冰块内石块的密度．
【解析】
设总体积为V，石块的体积为V石，冰的体积为V-V石，
∵含有石块的冰块悬浮，
∴含有石块的冰块的密度
ρ=ρ=0.95×103kg/m3，
即：=0.95×103kg/m3，-----①
∵ρ=ρ=0.95×103kg/m3＜ρ水，
∴放入水中将漂浮，排开水的体积V排=sh1=100cm2×2.09cm=209cm3，
∴含有石块的冰块重：
G=F浮=ρ水V排g=1×103kg/m3×209×10-6m3×10N/kg=2.09N，
含有石块的冰块的质量：
m===0.209kg=209g，
代入①得：
V===220cm3，
冰熔化前受到的浮力：
F浮=G冰+G石=G冰+ρ石V石g=2.09N，
冰熔化后受到的浮力：
F浮′=G水+ρ水V石g，
∵冰化水，质量不变、重力不变，
∴G冰=G水，
∴△F浮=F浮-F浮′=G冰+ρ石V石g-G水-ρ水V石g=ρ石V石g-ρ水V石g，
∵△F浮=ρ水sh2g=1×103kg/m3×100×0.1×10-6m3×10N/kg=0.1N，
∴ρ石V石g-ρ水V石g=0.1N，
ρ石V石-ρ水V石=10g，------------②
而ρ石V石g+ρ冰（V-V石）g=2.09N，
ρ石V石+ρ冰（V-V石）=209g，------③
③-②得：
ρ冰（V-V石）+ρ水V石=199g，
0.9g/cm3×（220cm3-V石）+1g/cm3×V石=199g，
解得：V石=10cm3，
代入②得：
ρ石V石-ρ水V石=10g，
∴ρ石==2g/cm3．
答：冰块内石块的密度为2g/cm3．