Question

如图所示，有两只完全相同的溢水杯分别盛有密度不同的A、B两种液体，将两个体积均为V，所受重力分别为G_C、G_D的小球C、D分别放入两容器中，当两球静止时，两杯中液面相平，且C球有一半体积浸入液体中，D球全部浸入液体中．此时两种液体对甲、乙两容器底部的压强分别为p_A、p_B；甲、乙两容器对桌面的压强分别为p₁、p₂．要使C球刚好完全没入液体中，须对C球施加竖直向下的压力F，若用与F同样大小的力竖直向上提D球，可使它有V₁的体积露出液面．已知C、D两球的密度比为2：3．则下述判断正确的是（ ）

A．p₁＞p₂；2G_C=3G_D
B．3p₁=4p₂；p_A＞p_B
C．3G_C=2G_D；3V₁=2V
D．3p_A=4p_B；3V₁=V

Answer

（1）两球体积相同，知道两球的体积关系，利用G=mg=ρVg求两球重力关系
（2）当两球静止时，C球有一半体积浸入液体中，利用阿基米德原理和漂浮条件得出液体A的密度与C球密度关系；
由于D球悬浮，可以得出液体B的密度与D球密度关系；进而得出两种液体的密度关系；又知道液面等高，利用液体压强公式求液体对容器底的压强关系；
（3）由于C球漂浮、D球悬浮，C球和D球排开的液体重都等于球本身重，而容器对桌面的压力都等于容器重加上液体重，可得容器对桌面的压力关系，同样的容器、受力面积s相同，根据压强公式得出甲、乙两容器对桌面的压强关系，因为不知道液体和容器重的关系，无法得出p1和p2的具体大小关系；
（4）要使C球刚好完全没入液体中，F+GC=F浮C；对于D球，F+F浮D=GD，据此求出V1与V的具体关系．
【解析】
（1）∵G=mg=ρVg，两球体积相同，
∴GC：GD=ρCVg：ρDVg=ρC：ρD=2：3，即3GC=2GD；
（2）当两球静止时，C球有一半体积浸入液体中，
∵F浮=ρ液V排g，
∴C球受到的浮力：
FC=ρAVg，
∵C球漂浮，
∴FC=GC=ρCVg，
∴ρAVg=ρCVg，
ρA=2ρC，
∵D球悬浮，
∴ρB=ρD，
∴ρA：ρB=2ρC：ρD=2ρC：ρC=4：3，
∵两容器液面等高，
∴液体对容器底的压强：
pA：pB=ρAgh：ρBgh=ρA：ρB=4：3，即3pA=4pB；
（3）∵F浮=G排=G物，
∴C球和D球排开的液体重都等于球本身重，
∴容器对桌面的压力都等于容器重加上液体重和球重，F压=G容器+G液+G球，
∵ρA＞ρB，
∴GA＞GB，
∴对桌面的压力：
FA＞FB，
∵p=，同样的容器、s相同，
∴甲、乙两容器对桌面的压强：
p1＞p2；因为不知道液体和容器重的关系，无法得出p1和p2的具体关系；
（4）要使C球刚好完全没入液体中，F+GC=F浮C，即F+ρCVg=ρAVg，---①
对于D球，F+F浮D=GD，即F+ρB（V-V1）g=ρDVg，-----②
①-②得：
ρCVg-ρB（V-V1）g=ρAVg-ρDVg，
ρCVg-ρBVg+ρBV1g=ρAVg-ρDVg，
∴ρBV1g=ρAVg-ρDVg-ρCVg+ρBVg=ρAVg-ρCVg=ρCVg，
V1：V=ρC：ρB=ρC：ρD=2：3，即3V1=2V．
由上述分析可知，3GC=2GD、3pA=4pB、p1＞p2、3V1=2V．
故选C．