Question

液压电梯（如图所示）是一项新枝术，在高压油挤压下，柱塞通过滑轮和钢索可带动轿箱上升或下降．当电梯里承载人的总质量为800kg、电梯匀速上升时，高压油的压强是 P₁；当电梯里承载人的总质量为600kg、电梯匀速下降时，高压油的压强是 P₂，P₁：P₂=3：2，图中轿箱本身质量是200kg，电梯下降时装置的机械效率是75%，电梯与侧壁的挤压始终不变，不计滑轮及柱塞的摩擦，g 取10N/kg．
求：（1）动滑轮和柱塞的总质量
（2）该液压电梯设计的最大承载质量为1000kg，求该装置的最大机械效率．（结果保留一位小数）

Answer

（1）设柱塞和滑轮的总质量为m，当电梯匀速上升时，分别以轿厢和人整体、滑轮和柱塞整体为研究对象，进行受力分析；当电梯匀速下降时，分别以轿厢和人整体、滑轮和柱塞整体为研究对象，进行受力分析：
不计滑轮及柱塞的摩擦，T1=f+G1人+G箱，而P1S=2T1+G=2（G1人+f+G箱）+G，则P1=，同理得P2=，由题知=，据此求柱塞和滑轮的总重与电梯受摩擦力的关系，
而η===75%，据此求柱塞和滑轮的总重、质量；
（2）根据题意，当电梯承载1000kg的人，且匀速下降时，装置的机械效率最大，利用η3==求此时机械效率．
【解析】

（1）设柱塞和滑轮的总质量为m，
当电梯匀速上升时，分别以轿厢和人整体、滑轮和柱塞整体为研究对象，受力分析如图1所示：
当电梯匀速下降时，分别以轿厢和人整体、滑轮和柱塞整体为研究对象，受力分析如图2所示：
G箱=m箱g=200kg×10N/kg=2000N，
G1人=m1g=800kg×10N/kg=8000N，
G2人=m2g=600kg×10N/kg=6000N，
不计滑轮及柱塞的摩擦，
T1=f+G1人+G箱，
P1S=2T1+G=2（G1人+f+G箱）+G=2（8000N+f+2000N）+G=20000N+2f+G
P1=，
T2=G2人+G箱-f，
P2S=2T2+G=2（G2人+G箱-f）+G=2（6000N+2000N-f）+G=16000N+G-2f，
P2=，
∵η=====75%，
∴G=2f，
∵=，即：=3：2，
：=3：2，
解得：
G=2000N，f=1000N
m==200kg；
（2）根据题意，当电梯承载1000kg的人，且匀速下降时，装置的机械效率最大，
G3人=m3g=1000kg×10N/kg=10000N，
η3==
=
≈83.3%．
答：（1）动滑轮和柱塞的总质量为200kg；
（2）该装置的最大机械效率83.3%．