Question

如图所示装置中，杠杆和滑轮的重力及滑轮的摩擦均可忽略不计，杠杆AB可以绕O点在竖直平面内自由转动，A端通过竖直方向的轻绳与滑轮组相连，在B端用一轻绳沿竖直方向将杠杆拉住，使其始终保持水平平衡．在滑轮组的下方，悬挂一圆柱形的物体，此物体被浸在圆柱形容器内的液体中．已知杠杆O点两侧的长度关系为AO=2OB，圆柱形物体的底面积为10cm²、高为12cm，圆柱形容器的底面积为50cm²．若容器中的液体为水，在水深为20cm时物体的上表面恰与水面相平，此时杠杆B端绳上的拉力为F₁；打开圆柱形容器下方的阀门K，将水向外释放，直到物体露出水面的体积为其总体积的2/3时，将阀门K关闭，此时杠杆B端绳上的拉力为F₂，且F₁：F₂=3：5．若容器中液体为某种未知液体，其质量与最初容器中的水的质量相等，此时未知液体的深度为18cm，杠杆B端绳上的拉力为F₃．（取g=10N/kg）
求：
（1）圆柱形物体的密度；
（2）未知液体的密度；
（3）作用在B端的拉力F₃ 大小；（小数点后保留两位）
（4）未知液体对圆柱形容器底部的压强．

Answer

1、先根据杠杆平衡的条件计算出杠杆B端受力关系，然后根据重物受平衡力作用，对重物进行受力分析得出等量关系；各个关系式联立求出密度；
2．先根据底面积和高求出体积，然后根据阿基米德原理确定质量相当，用密度和体积表示出质量关系即可求出液体的密度；
3．重物受重力、浮力和滑轮向上的作用力，根据杠杆平衡的条件和滑轮组的特点表示出作用在重物上的力，然后根据平衡列出等价关系式，解之即可；
4．直接利用液体压强公式P=ρgh进行计算即可．
【解析】
（1）设放水前后作用在A端绳子的拉力分别为F1′、F2′，圆柱体的体积为和密度分别为 V、ρ，则
F1×OB=F1′×OA 
F2×OB=F4×OA          
由上面两个式子可得==3：5        ①
ρ水Vg+3F1′=G=ρVg                      ②
Vg+3F2′=G=ρVg                   ③
联立①②③得圆柱体的密度ρ=2ρ水=2×1.0g/cm3=2g/cm3．
（2）水的体积是 V水=50cm2×20cm-10cm2×12cm=880cm3，
未知液体的体积是 V=50cm2×18cm-10cm2×10cm=800cm3，
由于质量相等，ρ水V水=ρV，故未知液体的密度 ρ液===1.1g/cm3．
（3）F3=×（G-F浮）=2×（2×103kg/m3×10N/kg×10cm2×12cm×10-6-1.1×103kg/m3×10N/kg×10cm2×10cm×10-6）=0.87N．
（4）P=ρ液gh=1.1×103kg/m3×10N/kg×0.18m=1980Pa．
答：（1）圆柱形物体的密度为2g/cm3；
（2）未知液体的密度为1.1g/cm3；
（3）作用在B端的拉力F3 大小为0.87N；
（4）未知液体对圆柱形容器底部的压强为1980Pa．