Question

质量为60kg的工人用如图所示的滑轮组，将一个合金块从空中匀速下落到底面积为800cm²的盛有水的容器中．当合金块接触水面之前，滑轮组的机械效率为η₁=80%，（不计绳重、摩擦，g取10N/kg，人的每只鞋与地面的接触面积为200cm²，ρ_合金=3×10³kg/m³）求：
（1）当合金块全部浸没在水中时，水对容器底的压强比合金块在空气中时增加了1×10³P_a，此时，人对地面的压强是多少？
（2）合金块在水中匀速上升时（A的上表面始终不露出水面），滑轮组的机械效率η₂=？（百分数保留整数）
（3）若用该滑轮组将质量相等、密度之比ρ_甲：ρ_乙=2：3的两个实心物体甲乙放入盛有足够多水的容器中，撤去滑轮组后，当甲、乙两物体静止后，水对甲、乙的浮力比
F_甲：F_乙=6：5，求甲的密度是多少？

Answer

（1）先分析合金块浸没水中时的受力情况；根据公式G=mg求出合金块的重力；根据浮力公式求出合金块的所受的浮力，进一步求出合金块所受的拉力，根据机械效率求出动滑轮的重力；再以动滑轮和人为研究对象进行受力分析；求出地面对人的支持力，最后利用压强公式求出人对地面的压强；
（2）根据公式W=FS求出拉力所做的有用功和总功，有用功和总功的比值就是滑轮组的机械效率；
（3）根据密度公式及已知条件求出乙的体积和乙排开的液体的体积；进一步求出甲和乙在水中的状态；最后利用密度公式求出甲的密度．
【解析】
（1）当合金块全部浸没在水中时，其受力情况如图1所示，

液面上升的高度，△h===0.1m；
△V排=V合金=S△h=0.08m2×0.1m=0.008m3
合金块的重力为：GA=ρ合金gV合金=3×103kg/m3×10N/kg×8×10-3m3=240N；
合金块所受的浮力：F浮A=ρ水gV排=1×103kg/m3×10N/kg×8×10-3m3=80N；
合金块所受的拉力为：T'A=GA-F浮A=240N-80N=160N；
当合金块在空气中时，其受力情况如图2所示：
合金块的重力为：GA=ρ合金gV合金=3×103kg/m3×10N/kg×8×10-3m3=240N；
合金块所受的拉力为：TA=GA=240N；
因为η1===80%，所以，G动=60N；
取动滑轮为研究对象，当合金块全部浸没在水中时，动滑轮的受力情况如图3所示，3F2=G动+T'A；
F2==≈73.3N；
取人为研究对象，受力情况如图4所示，
地面对人的支持力为N=G人-F2=60kg×10N/kg-73.3N=526.7N；
人对地面的压强P===≈1.32×104Pa；
（2）设合金块在水中匀速上升的高度为h，则
拉力所做的有用功为W有用=T'2h=160h（J）
拉力所做的总功为；W总=F23h=×3h=220hJ；
滑轮组的机械效率η2==≈72.7%；
（3）∵m甲=m乙
根据密度公式及已知条件可得：V乙==…①；
∵F甲：F乙=6：5
可得乙物体排开液体的体积：V乙′==…②；
乙物体排开液体的体积只能小于或等于乙物体的体积，比较①②可知：V甲′＜V甲
即甲一定漂浮在水中．
又∵m甲=m乙，F甲：F乙=6：5，所以乙物体不可能漂浮或悬浮在水中，只可能下沉
即V乙′=V乙…③
因为甲漂浮在水中，得G甲=F甲…④
联立以上4式可得ρ甲===0.8×103kg/m3；
答：甲的密度是0.8×103kg/m3．