Question

干簧管（也叫干簧继电器）具有比一般机械开关结构简单、体积小、工作寿命长等优点，如图1为干簧管的结构示意图． 其外壳是一根密封的玻璃管，管中装有两个铁质的弹性簧片电板，还灌有一种惰性气体．平时，玻璃管中的两个由特殊材料制成的磁簧片是分开的．当有磁性物质靠近玻璃管时，在磁场的作用下，管内的两个簧片被磁化而互相吸引接触，簧片就会吸合在一起，使结点所接的电路连通．外磁力消失后，两个簧片由于本身的弹性而分开，线路也就断开了．因此，作为一种利用磁场信号来控制的线路开关器件．小美同学想用干簧管制作水位自动报警装置，设计了一个装置，其结构简图如图23甲所示，当水面有微小变化，经装置后都会将变化放大，进行报警．在调整过程中，当在绳子自由端施加一竖直向下的力F，使物体A浸没在水中被匀速竖直向上吊起时，滑轮组装置的机械效率为80%，已知物体A的体积为200cm³．小东同学为了使小美设计的装置更稳定，在小美设计的装置基础上，增加了一个杠杆，其设计简图如图2乙所示 （干簧管所在电路此处没有画出），当杠杆水平时，物体A有一半体积露在水面外，绳子自由端悬挂重3N的永磁铁能使装置平衡，磁铁处于干簧管1和干簧管2水位报警器之间，当永磁铁沿竖直方向离平衡位置，到达上或下干簧管时，电路报警器就响起，已知．当水箱内换盛其它某液体x时，要想使杠杆仍能在原液面处处于平衡状态，起到报警作用，小东调节绳子自由端所挂永磁铁的质量，当永磁铁的质量为0.316Kg时，杠杆水平，装置处于平衡状态．本题中细绳和杠杆的质量、滑轮与轴的摩擦、液体对物体的阻力均忽略不计，g取10N/kg．求：
（1）物体A的密度是多少？
（2）所盛液体x的密度为多少？

Answer

（1）在调整过程中，当在绳子自由端施加一竖直向下的力，使物体A浸没在水中被匀速竖直向上吊起时，以物体A为研究对象，进行受力分析可得GA=F浮1+T1，得关系式①ρAgVA=ρ水gVA+T1；对滑轮组进行受力分析可得3F1=T1+G动
以及滑轮组的机械效率②η===80%，而T1=T1′，联立①和②可得关于动滑轮重力的方程③（0.4×10-3N•kg-1•m3ρA-0.4N=0.8G动）；
（2）如图乙所示，装置处于平衡状态，以物体A为研究对象，进行受力分析GA=F浮2+T2，得关系式④（），以杠杆为研究对象可得得关系式⑤（T'2LOC=TD1LOD），对滑轮组进行受力分析可得⑥
（T'D1+G动=3F2），而T2=T2′，联立④⑤⑥可得⑦1.6×10-2N•kg-1•m3ρA-53N=5G动，联立③和⑦式可得G动、ρA；
（3）当换盛其它液体时，杠杆水平，装置平衡时，以物体A为研究对象，进行受力分析GA=F浮3+T3可得⑧（
），以杠杆为研究对象，得关系式⑨（T'3LOC=TD2LOD），对滑轮组进行受力分析可得⑩
（T'D2+G动=3F3T3=T3′），联立⑧⑨⑩求ρx．
【解析】

（1）图甲所示，在调整过程中，当在绳子自由端施加一竖直向下的力，使物体A浸没在水中被匀速竖直向上吊起时：
以物体A为研究对象，受力分析如右图所示：GA=F浮1+T1，即：ρAgVA=ρ水gVA+T1---------①
对滑轮组进行受力分析可得：3F1=T1+G动
滑轮组的机械效率：---------②
T1=T1′
联立①和②，代入已知可得：0.4×10-3N•kg-1•m3ρA-0.4N=0.8G动---------③；
（2）如图乙所示，装置处于平衡状态，
以物体A为研究对象，进行受力分析：GA=F浮2+T2，即：---------④
以杠杆为研究对象：T'2LOC=TD1LOD---------⑤
对滑轮组进行受力分析可得：T'D1+G动=3F2---------⑥
T2=T2′
联立④⑤⑥代入已知可得：1.6×10-2N•kg-1•m3ρA-53N=5G动---------⑦
联立③和⑦式可得：G动=1N，ρA=3×103kg/m3；
（3）当换盛其它液体时，杠杆水平，装置平衡时，
以物体A为研究对象，进行受力分析如右图所示：GA=F浮3+T3
---------⑧
以杠杆为研究对象：
T'3LOC=TD2LOD---------⑨
对滑轮组进行受力分析可得：T'D2+G动=3F3---------⑩
T3=T3′
联立⑧⑨⑩代入已知G动=1N，ρA=3×103kg/m3，
可得：ρx=0.7×103kg/m3．
答：（1）物体A的密度是3×103kg/m3，
（2）所盛液体x的密度为0.7×103kg/m3．