Question

如图是某科研小组设计的在岸边打捞水中物品的装置示意图．该装置由悬挂机构和提升装置两部分组成．悬挂机构由固定杆OD和杠杆BC构成，O为杠杆BC的支点，CO：OB=4：1．配重E通过绳子竖直拉着杠杆B端，其质量m_E=500kg．安装在杠杆C端的提升装置由支架、电动机Q、定滑轮K及动滑轮M构成．其中支架和电动机Q的总质量m_Q=12kg，定滑轮K和动滑轮M的质量均为m．可利用遥控电动机拉动绳子，通过滑轮组提升浸没在水中的物品．在一次打捞一批实心金属材料过程中，金属材料浸没在水中匀速竖直上升，此时电动机Q牵引绳子的功率为P₁，绳子H端的拉力为F₁，金属材料上升速度大小为v₁，地面对配重E的支持力为N₁，滑轮组的机械效率为η₁；在金属材料全部露出水面后匀速竖直上升的过程中，绳子H端的拉力为F₂，地面对配重E的支持力为N₂，滑轮组的机械效率为η₂．已知F₁=200N，v₁=0.2m/s，η₂=95%，N₁：N₂=6：1，绳和杠杆的质量、捆绑金属材料的钢丝绳的质量和体积、滑轮与轴及杠杆支点处的摩擦、水对金属材料的阻力均可忽略不计，g取10N/kg．
求：
（1）金属材料浸没在水中匀速上升时电动机牵引绳的功率P₁；
（2）动滑轮M的质量m；
（3）被打捞金属材料的密度ρ_金．

Answer

（1）已知金属材料浸没在水中匀速上升时的速度，根据P=Fv求出电动机牵引绳的功率；
（2）分别对金属材料浸没在水中匀速上升和金属材料离开水面后匀速上升的过程中的支架、电动机Q、定滑轮K为研究对象进行受力分析，根据力的平衡条件和相互作用力、杠杆的平衡条件得出等式，再利用条件η2=95%，N1：N2=6：1，即可得出动滑轮M的质量．
（3）分别对金属材料浸没在水中匀速上升时和离开水面后匀速上升的过程中，以动滑轮和被提升的金属材料为研究对象进行受力分析，根据力的平衡条件和相互作用力得出等式，求出受到的浮力和金属材料的重力，再根据阿基米德原理求出浸没时排开水的体积即为金属的体积，根据密度公式和重力公式求出被打捞金属材料的密度．
【解析】
（1）金属材料浸没在水中匀速上升时，电动机牵引绳子的功率为
P1=F1×3v1=200N×3×0.2m/s=120W；
（2）金属材料浸没在水中匀速上升时，以支架、电动机Q、定滑轮K为研究对象，受力分析图如图1所示，配重E的受力分析图如图2所示，杠杆上C点、B点受力分析图如图3所示．

FC1′=FC1，FB1′=FB1 ，FC1•CO=FB1•OB
FC1′=3F1+GQ+G
FB1=FC1=4（3F1+GQ+G）
N1=GE-FB1=GE-4（3F1+GQ+G）
金属材料离开水面后匀速上升的过程中，以支架、电动机Q、定滑轮K为研究对象，受力分析图如图4所示，配重E的受力分析图如图5所示，杠杆上C点、B点受力分析图如图6所示．

FC2′=FC2 ，FB2′=FB2 ，FC2•CO=FB2•OB
FC2′=3F2+GQ+G
FB2=FC2=4（3F2+GQ+G）
N2=GE-FB2′=GE-4（3F2+GQ+G） 
∵η2===95%，
==
解得：G=50N，m=5kg； 
（3）金属材料浸没在水中匀速上升时，以动滑轮和被提升的金属材料为研究对象，受力分析图如图7所示，金属材料离开水面后匀速上升的过程中，以动滑轮和被提升的金属材料为研究对象，受力分析图如图8所示．

F1=F1′，F2=F2′
F浮+3F1=G+G
3F2′=G+G 
解得：F浮=400N，G=950N，
根据阿基米德原理F浮=ρ水gV得：
V===4×10-2m3
金属材料密度：
ρ===≈2.4×103kg/m3．
答：（1）金属材料浸没在水中匀速上升时电动机牵引绳的功率为120W；
（2）动滑轮M的质量为5kg；
（3）被打捞金属材料的密度约为2.4×103kg/m3．