Question

工人用如图所示装置，打捞深井中的边长为30cm的正方体石料，石料的密度为3×10³kg/m³．装置的OC、DE、FG三根柱子固定在地面上，AB杆可绕O点转动，AO：OB=1：2，边长为L的正立方体配重M通过绳竖直拉着杆的B端．现用绳子系住石料并挂在滑轮的钩上，工人用力沿竖直方向向下拉绳，使石料以0.2m/s的速度从水中匀速提升．AB杆始终处于水平位置，绳子的质量、轮与轴间的摩擦均不计，g取10N/kg．求：
（1）如果石料在水中匀速上升时滑轮组的机械效率是η₁，石料完全离开水面后滑轮组的机械效率是η₂，且η₁：η₂=83：84，求石料在水中匀速上升过程中，工人拉绳的功率多大？
（2）若石料在水中匀速上升时，配重对地面的压强为6500帕，石料完全离开水面后，配重对地面的压强为4812.5帕；求配重M的密度．

Answer

（1）已知正方体石料边长为30cm，可求出体积，又知密度3×103kg/m3，根据G=ρVg可求出重力；再根据阿基米德定律求出石料所受的浮力，即可求出动滑轮对石料的拉力；然后根据机械效率公式η1和η2的表达式，由η1：η2=83：84，列出方程求出动滑轮重；再由滑轮组的省力特点求出工人的拉力，根据石料的速度求出绳子自由端的拉力，最后根据P=FV求出拉力的功率．
（2）根据滑轮组省力特点，求出配重出水前滑轮组绳子的拉力，已知AO：OB=1：2，根据杠杆的平衡条件可求出杠杆B端对配重的拉力，根据F'B1+N=GM，列出方程；
根据滑轮组省力特点，求出配重出水后滑轮组绳子的拉力，已知AO：OB=1：2，根据杠杆的平衡条件可求出杠杆B端对配重的拉力，根据F′B2+N'=GM，列出方程，结合两方程可求出配重M的密度．
【解析】
（1）分别取石料、滑轮和杠杆为研究对象，其受力情况如图示，
石料的重力，
石料所受的浮力F浮=ρ水gV排=1×103kg/m3×10N/kg×（0.3m）3=270N，
拉力T1=G石-F浮=810N-270N=540N，

设石料在水中和完全离开水面后所上升的高度均为h，根据题意可得：
，
，
，
联立式可得G轮=20N，
工人的拉力为=，
拉力的功率为p=Fnv=280N×2×0.2m/s=112W．
（2）分别取杠杆和配重为研究对象，两种状态下的受力情况分别如图示：

石料在水中时，FA1•OA=FB1•OB，，
因F′B1+N=GM，即，…①，
石料出水后，FA2•OA=FB2•OB，，
因F′B2+N′=GM，即，…②，
联立①②两式可解得．
答：（1）石料在水中匀速上升过程中，工人拉绳的功率是112W；
（2）配重M的密度是5×103kg/m3．