Question

图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动．工人师傅用该吊运设备先后搬运水平地面上的圆柱形物体A和物体B．物体A的底面积为S_A，密度为ρ_A，高度为h₁；物体B的底面积为S_B，密度为ρ_B，高度为h₂．当物体A所受竖直向上拉力T₁为1500N时，物体A静止，地面对物体A的支持力为N₁，挂在滑轮组挂钩上的物体A匀速竖直上升4m的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力为F₁，拉力F₁做的功为W．当物体B所受竖直向上的拉力T₂为1000N时，物体B静止，地面对物体B的支持力为N₂．挂在滑轮组挂钩上的物体B以速度v匀速竖直上升的过程中，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力F₂为625N，拉力F₂做功的功率P为500W，滑轮组的机械效率为80%．已知：N₁=2N₂，5S_A=4S_B，8ρ_A=7ρ_B，2h_A=5h_B，不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦．求：
（1）物体B匀速上升的速度v：
（2）拉力F₁做的功W．

Answer

首先对物体进行受力分析，此时物体A和物体B在竖直方向受三个力的作用，竖直向上的拉力和支持力，竖直向下的重力．
（1）知道物体A和物体B的底面积、密度和高度可利用公式G=mg=ρvg=ρshg计算出物体A和物体B的重力．从图可知，当物体A和物体B静止时，竖直向上的力等于竖直向下的力，从而可以列出两个等式：GA=T1+N1①，GB=T2+N2②，便可以计算出物体A和物体B的重力、以及N1和N2的大小．
知道提升重物B时滑轮组的机械效率和绳子自由端的拉力，可利用公式η===计算出吊着物体的绳子的段数．
知道拉力F2的大小和拉力F2做功的功率，可利用公式P=FV计算出绳子自由端运动的速度，从而可以计算出物体B匀速上升的速度v．
（2）知道物体B的重力和绳子自由端的拉力F2，不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦，可利用公式F=（G物+G动）计算出动滑轮的重力，又知道物体A的重力，可利用公式F=（G物+G动）计算出提升重物A时绳子自由端的拉力F1，知道物体A上升的高度，从而可以计算出绳子自由端移动的距离，最后再利用公式W=FS计算出拉力F1做的功W．
【解析】
物体A和物体B在竖直方向受三个力的作用，竖直向上的拉力和支持力，竖直向下的重力．如图所示：

（1）∵物体A的底面积为SA，密度为ρA，高度为h1；物体B的底面积为SB，密度为ρB，高度为h2，
∴物体A的重力为：GA=ρAsAhAg；物体B的重力为：GB=ρBsBhBg，
而物体A和物体B静止，
∴GA=T1+N1，GB=T2+N2，
而T1=1500N，T2=1000N，
即：ρAsAhAg=1500N+N1①，ρBsBhBg=1000N+N2②，
则==，
而N1=2N2，5SA=4SB，8ρA=7ρB，2hA=5hB，
解得：N1=2000N，N2=1000N，GA=3500N，GB=2000N；
∵绳子自由端的拉力F2=625N，η=80%，
∴η====80%，
解得：n=4．
又∵拉力F2做功的功率P=500W，
由公式P=Fv得，
∴绳子自由端运动的速度为：v绳===0.8m/s，
则物体B匀速上升的速度为：v=v绳=×0.8m/s=0.2m/s．
（2）∵n=4，拉力F2=625N，GB=2000N，
∴由公式F=（G物+G动）可得：
动滑轮的重力为；G动=4F2-GB=4×625N-2000N=500N，
而GA=3500N，
∴提升重物A时绳子自由端的拉力为：F1=×（GA+G动）=×（3500N+500N）=1000N，
而物体A上升的高度为：h=4m，
则绳子自由端移动的距离为：s=4h=4×4m=16m，
∴拉力F1做的功为：W=F1s=1000N×16m=16000J．
答：（1）物体B匀速上升的速度v为0.2m/s．
（2）拉力F1做的功W为16000J．