Question

如图1，一根长为20cm，横截面积为10cm²的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起立，置于烧杯内水平面上方．现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为ρ₁=0.8×10³kg/m³，水的密度为ρ=1.0×10³kg/m³
（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度．
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度．（忽略木杆横截面积的影响）

Answer

（1）知道木杆长和横截面积，可求木杆的体积；又知道木杆的密度，利用G=mg=ρVg求木杆的重力；而木杆的浮力加上拉力（弹簧测力计读数）等于木杆的重力，据此求木杆受到的浮力，再利用阿基米德原理求木杆浸入的长度；（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如图，木杆受水的浮力的作用点在D（浸入部分的中点），其力臂为OA；木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂为OB，由于杠杠平衡，可得：F浮′×OA=G×OB，将已知条件代入解方程求得h的大小．
【解析】

（1）木杆的体积：
V=Sh=10cm2×20cm=200cm3=2×10-4m3，
木杆的重力：
G=mg=ρ1Vg=0.8×103kg/m3×2×10-4m3×10N/kg=1.6N，
当弹簧测力计读数F示=1.2N时，木杆受到的浮力：
F浮=G-F示=1.6N-1.2N=0.4N，
∵F浮=ρV排g=ρSL浸g，
∴木杆浸入的长度：
L浸===0.04m=4cm；
（2）设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如右图，
木杆受到水的浮力，作用点在D（浸入部分的中点），其力臂OA=（L-h）sin30°，
木块受到重力的作用，作用点在C点（木杆的中点），其力臂OB=Lsin30°，
由于杠杠平衡条件可得：
F浮′×OA=G×OB，
即：F浮′×（L-h）sin30°=G×Lsin30°，
而F浮′=ρV排′g=ρShg，
G=ρ1Vg=ρ1SLg，
sin30°=，
代入得：
ρShg×（L-h）×=ρ1SLg×L×，
再代入已知条件：L=20cm，ρ1=0.8×103kg/m3=0.8g/cm3，ρ=1.0×103kg/m3=1g/cm3，
1g/cm3×Shg×（20cm-h）×=0.8g/cm3×S×20cm×g×20cm×，
1g/cm3×h×（20cm-h）=0.8g/cm3×20cm××20cm，
h2-40h+320=0，
解得：
h=≈29cm（大于20cm，舍去），h=≈11cm．
答：（1）当弹簧测力计读数为1.2N时，木杆浸入水中的长度为4cm；
（2）继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，木杆浸入水中的长度为11cm．