Question

某中学的环保课题小组，协助某化工厂进行排污处理试验．如图所示是化工厂的一个污水池，Q是一个面积S₁=2×10^-2m²的圆形阀门，阀门顶部焊接一根过圆心的轻杆ab，阀门和轻杆可绕转轴a上下转动，轻杆长度等于阀门直径的2倍，杆的右端用S₂=1×10^-2m²，重为55N，高度足够，污水密度为1.1×10³Kg/m ³．（阀门厚度、杆的大小及它们的重力忽略不计，g=10N/Kg．）
求：①污水至少多深时，浮筒所受的浮力与它的重力平衡？
②污水多深时阀门刚好打开排污（阀门未打开时轻杆是水平的）？

Answer

（1）已知浮筒的重力、横截面积以及污水的密度，当浮筒所受的浮力与它的重力平衡时，可得G=F浮=ρ污水Vg=ρ污水hS2g，将已知量代入即可求出污水的深度；
（2）设此时污水的深度为h′，先根据F=Ps求出污水对阀门的压力，再利用G+T=F浮求出绳对轻杆的拉力，最后利用杠杆平衡的条件将已知量代入，即可求出污水的深度．
【解析】
①设浮筒浸入水深达h时，受到的浮力与重力平衡，由于二力平衡可得：
G=F浮=ρ污水Vg=ρ污水hS2g
h===0.5m；
②设污水深度达h′，阀门刚好打开进行排污，
则阀门受污水的压力：F=P•S1=ρ污水g h′•S1=1.1×103kg/m3×10N/kg×h′×2×10-2m2=2.2×102N/m×h′
设绳对轻杆的拉力为T，根据平衡条件有
G+T=F浮
T=F浮-G=ρ污水Vg-G=1.1×103kg/m3×1×10-2m2×（h′-0.5m）×10N/kg-55N=1.1×102N/m×h′-110N
设阀门的直径为d，阀门刚好打开时，根据平衡条件有
F•d=T•2d
即2.2×102N/m×h′×=（1.1×102N/m×h′-110N）×2
解之：h′=2m．
答：①污水至少为0.5m，浮筒所受的浮力与它的重力平衡；
②污水为2m时阀门刚好打开排污．