Question

道闸又称栏杆机、挡车器，是现代停车场管理的智能化高科技产品，主要应用于各类停车场、封闭式管理小区出入口等场所．如图甲所示的是某停车场安装的道闸结构示意图，合金制作的空心栏杆，通过固定装置安装在箱体，能绕固定轴O转动90°，固定轴到箱底的高度为h，箱体固定在地面上．弹簧通过连接钢丝一端固定在箱体底面，另一端固定在固定装置上的A点，使用时弹簧保持竖直．可以使栏杆在水平位置和竖直位置间转动．弹簧自重G_弹簧=30N，钢丝重忽略不计，固定轴到弹簧的距离是OA=20cm．通过调节连接钢丝的长度，使弹簧的长度为l₁=80cm，这时栏杆在水平位置平衡．在栏杆的重心位置上安装了5N重的警示牌，需要调节连接钢丝长度，改变弹簧的拉力，使栏杆仍然在水平位置平衡．栏杆与固定装置总重为G_栏杆，重心B点到O点距离为1.2m，若弹簧的长度l与拉力F_拉的关系图象如图乙所示．

求：
（1）栏杆和固定装置总重G_栏杆；
（2）第二次弹簧的长度．

Answer

（1）杠杆的平衡条件是 动力×动力臂=阻力×阻力臂，栏杆作为杠杆受力示意图如下：

所以有等式：F1•OA=G栏杆•OB
其中，OA=20cm=0.2m，OB=1.2m，
F1=F拉1+G弹簧，其中G弹簧=30N，F拉1通过L1=80cm时丙图图象中看出，即 F拉1=300N．
把这些数据代入杠杆平衡条件解方程，得出G栏杆．
（2）根据杠杆的平衡条件F2•OA=G栏杆′•OB，G栏杆增加5N时G栏杆′=55N+5N=60N
解出F2，用F2减去弹簧重力就是第二次弹簧的拉力，
即：F拉2=F2-G弹簧
弹簧的特点是在弹性限度内，弹簧伸长的长度与拉力成正比，即先后两次弹簧的伸长量与弹簧的拉力成正比，这样列出方程即可求出第二次弹簧长度．
方程为：（l2-l）：（l1-l）=F拉2：F拉1．
【解析】
（1）栏杆绕O点转动，可以看作杠杆．当杠杆水平平衡时，受力示意图如下

根据杠杆平衡条件：F1•OA=G栏杆•OB
F1=F拉1+G弹簧，从图丙中可以知道：F拉1=300N
G栏杆==55N   

（2）栏杆上加了警示牌后G栏杆′=G栏杆+G警示牌=55N+5N=60N     
根据杠杆平衡条件：F2•OA=G栏杆′•OB
F2===360N   
F2=F拉2+G弹簧  F拉2=F2-G弹簧=360N-30N=330N     
设弹簧原长为l，由于弹簧伸长的长度与拉力成正比，
所以有等式（l2-l）：（l1-l）=F拉2：F拉1
（l2-50cm）：（80cm-50cm）=330N：300N
解出l2=83cm．
答：（1）栏杆和固定装置总重G栏杆=55N．
（2）第二次弹簧的长度是83cm．