Question

建筑工人使用如图所示装置，将质量分布均匀的长方体水泥板M吊起后放入水中．工人通过控制电动机A、电动机B，始终保持水泥板M所受拉力竖直向上．当电动机A对绳的拉力为零时，电动机A对地面的压强为p；当水泥板M一端被竖直滑轮组拉起，另一端仍停在地面上，且水泥板M与水平地面成某角度时，电动机A对地面的压强为p₁；当水泥板M被竖直滑轮组拉离地面时，电动机A对地面的压强为p₂；当将水泥板M被悬挂着浸没在水中时，电动机A对地面的压强为p₃．已知：水泥板M的体积V_M为0.1m³，△p₁=|p₁-p|=5250Pa，△p₂=|p₂-p|=10250Pa，△p₃=|p₃-p|=5250Pa，不计绳重和轴摩擦．（g取10N/kg）求：
（1）竖直滑轮组中动滑轮的总重力G_动；
（2）水泥板M所受重力G_M；
（3）竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率η．（结果保留两位有效数字）

Answer

（1）设电动机A的底面积为S，当水泥板M未拉离地面时，水泥板M可看做以未离地端为支点的杠杆，其所受重力和悬挂端拉力如图1甲所示，动滑轮受力分析如图1乙所示，电动机A受力分析如图1丙所示．可得：T1=、4F1=G动+T1、F1=GA-N1=N-N1=S•△p1；
当水泥板M拉离地面尚未入水时，水泥板M受力分析如图2甲所示，动滑轮受力分析如图2乙所示，电动机A受力分析如图2丙所示，可得T2=GM、4F2=G动+T2、F2=GA-N2=N-N2=S•△p2；
当水泥板M完全浸没在水中时，水泥板M受力分析如图3甲所示，动滑轮受力分析如图3乙所示，电动机A受力分析如图3丙所示，可得：T3=GM-F浮、4F3=G动+T3、F3=GA-N3=N-N3=S•△p3，
知道水泥板的体积，利用阿基米德原理求水泥板浸没在水中时受浮力，
以上联立求得电动机A的底面积、F1、F2、F3，进而求出动滑轮重；
（2）根据T2=GM、4F2=G动+T2求水泥板M所受重力；
（3）求出T1，利用效率公式求竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率．
【解析】
（1）设电动机A的底面积为S，GA=S×p=N，
当水泥板M未拉离地面时，对水泥板M、动滑轮、电动机A受力分析如图所示：

T1=，----------①
4F1=G动+T1----------②
F1=GA-N1=N-N1=S•△p1----------③
当水泥板M拉离地面尚未入水时，水泥板M受力分析如图2甲所示，动滑轮受力分析如图2乙所示，电动机A受力分析如图2丙所示；

T2=GM----------④
4F2=G动+T2----------⑤
F2=GA-N2=N-N2=S•△p2----------⑥
当水泥板M完全浸没在水中时，水泥板M受力分析如图3甲所示，动滑轮受力分析如图3乙所示，电动机A受力分析如图3丙所示；

T3=GM-F浮----------⑦
4F3=G动+T3----------⑧
F3=GA-N3=N-N3=S•△p3----------⑨
水泥板M浸没在水中时所受浮力
F浮=ρ水gVM=1×103kg/m3×0.1m3×10N/kg=1×103N，
由⑥式-⑨式：
F2-F3=S（△p2-△p3），
⑤式-⑧式：
4（F2-F3）=T2-T3，
④式-⑦式，
T2-T3=F浮，
解得：
4 S（△p2-△p3）=F浮，
4S×（10250Pa-5250Pa）=1×103N
∴S=0.05m2，
F1=S△p1=0.05m2×5250Pa=N，
F2=S•△p2=0.05m2×10250Pa=N，
F3=S△p3=0.05m2×5250Pa=N，
由①②得：
4F1=G动+，
4×N=G动+，
2100N=2G动+GM，------（10）
由④⑤得：
4F2=G动+GM，
4×N=G动+GM，
2050N=G动+GM，---------（11）
（10）式-（11）式得：
G动=50N，
（2）GM=4F2-G动=2050N-50N=2000N，
（3）T1===1000N；
η====≈95%．
答：（1）竖直滑轮组中动滑轮的总重力为50N；
（2）水泥板M所受重力为2000N；
（3）竖直滑轮组提拉水泥板M将其立起的过程中机械效率为95%．