Question

如图所示，某桥梁工程部门在一次工程作业中，利用汽车将重为G，高为h的柱形实心铁块，从水深为h₁的河底竖直打捞上来．汽车速度为υ，且保持恒定．水的密度为ρ，铁的密度为ρ₁．不计滑轮的摩擦和绳重，不考虑水的阻力和物体排开水的体积对水面高度的影响．请完成下列有关分析和计算．
（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值；
（2）推导出自铁块上表面与水面相平升至整体刚露出水面的过程中，绳子的拉力随时间变化的关系式（从铁块上表面与水面相平时开始计时）
（3）在图中，定性画出铁块自河底升至滑轮处的过程中，绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象．

Answer

（1）知道铁块的重和铁的密度，利用密度公式和重力公式求铁块的体积；当铁块浸没水中时（排开水的体积等于铁块的体积），受到水的浮力最大，利用阿基米德原理求铁块上升过程中所受浮力的最大值；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，铁块上升的高度（露出的高度）△h=vt，浸入的高度h=h-△h，可求排开水的体积，利用F=G-F浮列出表达式；
（3）利用F=G-F浮求出铁块浸没在水中、露出水面到全露出、全露出水面后的拉力大小，又知道速度大小，利用P===Fv求三过程的拉力功率，再作图．
【解析】
（1）当铁块浸没水中时，受到水的浮力最大，
∵G=ρ1v铁g，
铁块的体积：
v铁=，
当铁块浸没水中，排开水的体积：
v排=v铁=，
此时受到水的浮力：
F浮=ρv排g=ρg=G；
（2）从铁块上表面与水面相平时开始计时，在时间为t时，
铁块上升的高度（露出的高度）：
△h=vt，
排开水的体积：
v排′=×，
此时受到水的浮力：
F浮′=ρv排′g=ρ×g=×；
绳子的拉力：
F′=G-F浮′
=G-×
=G-+t；
（3）铁块浸没在水中，拉力：
F1=G-F浮=G-G，
拉力功率：
P1=F1v=（G-G）v，
铁块从露出水面到全露出，拉力：
F2=G-F浮′
=G-×；
=G-+t，
拉力功率：
P2=F2v=（G-+t）v=（G-）v+vt，
全露出水面后的拉力大小：
F3=G，
拉力功率：
P3=F3v=Gv，
绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如右图所示．
答：（1）铁块上升过程中所受浮力的最大值为G；
（2）绳子的拉力随时间变化的关系式为F=G-+t；
（3）绳子拉力的功率P随铁块上升高度h变化关系的图象如图所示．