Question

如图所示，某科技小组的同学制作了一个打捞物体的自动控制模型，E为配重，AOB是一个质地均匀的长方形横杆，其质量不计，OA：OB=1：3，在水平位置保持平衡．通过电动机Q可以控制杠杆B端抬起，从而将被打捞物体提起．已知滑轮D重为10N，B端定滑轮和提升电动机P的总质量是1kg，提升电动机P的功率为3W且保持不变，物体M的质量是1kg．只让提升电动机P工作，当物体M匀速上升时，提升电动机P对绳子的拉力为F₁，B端滑轮组的机械效率为η₁．若用质量为1.5kg物体N代替物体M，只让提升电动机P工作，当物体N匀速上升时，提升电动机P对绳子的拉力为F₂，B端滑轮组的机械效率为η₂，且η₁：η₂=8：9．不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦，g取10N/kg，求：
（1）F₁与F₂的比值；
（2）只让提升电动机P工作，当物体M匀速上升时的速度υ；
（3）当物体N被提升到一定高度后，提升电动机P停止工作，启动电动机Q将杠杆B端匀速抬起的过程中，电动机Q对绳子的拉力F的大小．

Answer

（1）根据M、N的质量，分别求出其重力，然后在提升物体M、N时，进行受力分析如解答中图（1）（2），可列出平衡方程①3F1=G动+GM；②3F2=G动+GN；再根据η1：η2=8：9求出动滑轮的重力，将动滑轮的重力分别代入两个平衡方程，求出F1与F2的数值，即可得出结论．
（2）提升电动机P的功率为3W不变时，利用P=Fv公式变形可求出当物体M匀速上升时υ1，根据滑轮组有3段绳子承担，可求出物体M匀速上升时的速度υ．
（3）当物体N被提升到一定高度后，启动电动机Q将杠杆B端匀速抬起的过程中，对杠杆和滑轮D受力分析，见解答中的图（3）（4），然后可列出平衡方程FA．OA=FB．OB和FA′=GD+2F，已经求出G动、GN、GB，可求出FB，再根据OA：OB=1：3，即可求出GD=10N，然后可求出电动机Q对绳子的拉力F的大小．
【解析】

（1）由已知
GM=GB=mBg=1kg×10N/kg=10N
GN=mNg=1.5kg×10N/kg=15N
提升物体M、N时，受力分析如图（1）（2）

平衡方程为
（1）3F1=G动+GM
（2）3F2=G动+GN
∵η1：η2=8：9
η1=，η2=，
由已知及以上关系得：G动=5N
由方程（1）（2）得出F1=5N，F2=N
∴F1：F2=3：4
（2）提升电动机P的功率为3W不变时，
当物体M匀速上升时，由υ1===0.6m/s，
∵滑轮组有3段绳子承担，
∴υM=0.2m/s．
（3）当物体N被提升到一定高度后，启动电动机Q将杠杆B端匀速抬起的过程中，
对杠杆和滑轮D受力分析如图（3）（4）

平衡方程为
（1）FA．OA=FB．OB
（2）FA′=GD+2F
∵FB=G动+GN+GB=30N
OA：OB=1：3，
GD=10N
由已知及以上关系得
F=40N
答：
（1）F1与F2的比值为3：4．
（2）只让提升电动机P工作，当物体M匀速上升时的速度为0.2m/s．
（3）电动机Q对绳子的拉力为40N．