Question

一个密度为2×10³千克/米³的圆柱体高10厘米，用一根弹簧把它吊起来，让它的一半浸没在水中（盛水的容器很大），此时弹簧比原长伸长了8厘米（已知弹簧的伸长量与所受的拉力成正比，即F=k△x，k对给定的弹簧来说是常数，△x是弹簧的伸长量），现再往容器中注入密度为0.8×10³千克/米³的油，并超过圆柱顶．问此时弹簧的伸长是多少？

Answer

当圆柱体一半浸没在水中时，圆柱体受到重力、浮力和拉力作用，并且竖直向下的重力等于竖直向上的拉力和浮力之和，列出关系式；
当再往容器中注入密度为0.8×103千克/米3的油，并超过圆柱顶时，圆柱体仍然受到重力、浮力和拉力，并且竖直向下的重力仍然等于竖直向上的拉力和浮力之和，列出关系式；
联立关系式解之即可．
【解析】
设圆柱体的横截面积为S，ρ为圆柱体密度，x1为容器中是水时弹簧伸长8，x2为容器中是水和油时弹簧伸长量，则
ρgSh-ρ水gS×h=kx1------------①
ρgSh-ρ水gS[h-（x1-x2）]-ρ油gS[h+（x1-x2）]=kx2--------②
①除以②得：=
（2×103kg/m3×0.1m-×103kg/m3×0.1m）x2=[2×103kg/m3×0.1m-×103kg/m3×0.1m+103kg/m3×（0.08m-x2）-×800kg/m3×0.1m-800kg/m3×（0.08m-x2）]×0.08m
解之：x2=6.07cm．
答：此时弹簧的伸长是6.07cm．