Question

某工厂设计了一个蓄水池（如图所示），水源A罐的夜面高度h₁保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱形浮子，横截面积为S₃，BO是杠杆总长的．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，活塞恰好能赌住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有极小一段距离时，浮子便不再上浮，此时浮子没入水深为h₃．为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的重量减去G′．试求浮子应减去重量G′的大小．（活塞及连杆的重量不计，杠杆所受浮力不记．）

Answer

（1）活塞上升的高度即为O点上升的距离．杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点．通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度．
（2）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力．
以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力．
两次重力之差即为减去的浮子的重力．
【解析】

设浮子原来重力为G，杠杆长为l．浮子减重后，重为G′，由倾斜变为水平，如图所示，杠杆C端上升高度为EC=h3-h2，活塞上升的高度△h即为OD的长度，△h=．

根据数学知识，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：==
因为BO是杠杆总长，
所以：===，
（2）活塞减重前，杠杆平衡时，支点为B，
以浮子为研究对象，C端受到的合力为F浮-G=（S3h3ρ水g-G），该力的力臂BE，
O点受到的力为F压=ρ水gS2（h1+△h），该力的力臂设为BD，
根据杠杆平衡条件可得：（F浮-G）BE=F压BD，
即：（S3h3ρ水g-G）BE=ρ水gS2（h1+△h）BD，=，
可得：3（S3h3ρ水g-G）=ρ水gS2（h1+△h），
G=S3h3ρ水g-ρ水gS2（h1+），-------------①
浮子减重后，杠杆平衡时，以杠杆为研究对象，进行受力分析：

C端受到的合力为
F′浮-G′=S3h2ρ水g-G′，此力的力臂为BC，
O点受到的力为F´压=ρ水gS1h1，此力的力臂为BO．
根据杠杆平衡有：（S3h2ρ水g-G′）BC=ρ水gS1h1 BO，
即为：3〔S3h2ρ水g-G′〕=ρ水gS1h1，
G′=S3h2ρ水g-ρ水gS1h1-----------②
①-②得浮子应减去重量G′的大小：
△G=ρ水g[S1h1+3S3（h3-h2）-S2（h1+）]
答：浮子应减去重量G′的大小为ρ水g[S1h1+3S3（h3-h2）-S2（h1+）]．