Question

为了迎接黄石市第二届矿冶文化节和第三届国际乒乓节，某庆典公司正在调试载人热气球．已知载人热气球球内热气的体积为200m³，球内热气的密度为0.29kg/m³，球外空气的密度为1.29kg/m³，球壳、吊篮及其装备的总质量为120kg，吊篮里的人的质量为58kg，g取10N/kg．
（1）要使热气球和人能够静止在空中，需要在吊篮里加入多少质量的配重？（由于热气的体积远大于其他部分的体积，故只考虑热气所受的浮力．）
（2）若气球静止于离地h=10m的空中，人需要沿着绳子下滑到地面．如果人以相对地的速度v₁=2m/s匀速下滑，根据反冲运动知识可知，人在下滑过程中，气球会以v₂的速度上升，设人的质量为m，气球的总质量（包括热空气、球壳、吊篮以及装备和配重）为M，则他们的关系满足mv₁=Mv₂，若在人着陆时，绳子的末端刚好接触地面，求绳子的长度．
（3）气球在上浮的过程中，空气的浮力是否对气球做了功？如果没有做功，请说明理由．如果做了功，求浮力做功的功率．

Answer

（1）由于热气球和人静止在空中，根据悬浮条件可得F浮=G气+G人+G吊篮+G配重，据此求配重的重力，再利用重力公式求配重的质量；
（2）由题知，Mg=G气+G吊篮+G配重，据此求气球的总质量，因为mv1=Mv2，可求气球的上升速度v2，知道人以相对地的速度，利用速度公式求下滑时间t，可求气球上浮的距离s，则绳长L=h+s；
（3）根据做功的必要条件判断浮力是否做功，求出浮力，知道上浮的高度，利用W=Fs求浮力做功．
【解析】

（1）∵热气球和人静止在空中，
∴F浮=G气+G人+G吊篮+G配重，
∴G配重=F浮-（G气+G人+G吊篮）
=ρ空气Vg-（ρ热气Vg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=1.29kg/m3×200m3×10N/kg-（0.29kg/m3×200m3×10N/kg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=220N，
m配重===22kg；
（2）∵Mg=G气+G吊篮+G配重，
即：M×10N/kg=0.29kg/m3×200m3×10N/kg+120kg×10N/kg+220N，
∴M=200kg
由mv1=Mv2得
v2=0.58m/s，
t===5s，
气球上浮的距离s=v2t=0.58m/s×5s=2.9m，
绳长L=h+s=10m+2.9m=12.9m；
（3）气球在浮力的方向上移动了距离，浮力做了功，
F浮=ρ空气Vg=1.29kg/m3×200m3×10N/kg=2580N，
P=F浮v2=2580N×0.58m/s=1496.4W．
答：（1）要使热气球和人能够静止在空中，需要在吊篮里加入22kg的配重；
（2）绳子的长度为12.9m；
（3）浮力做功的功率为1496.4W．