Question

如图所示，甲乙两薄壁柱形容器放在水平桌面上，它们的高度均为0.5米，底面积分别为1×10^-2米²和2×10^-2米²，容器中分别盛有质量相同的A、B两种液体，且两液面到容器底的距离都是0.1米．已知B液体的密度为0.8×10³千克/米³．求：
（1）B液体的质量？
（2）若在A、B两液体中分别浸没甲球和乙球，使液体对容器底部的压强相等，请计算甲乙两球的体积之间须满足的关系及它们的取值范围．

Answer

（1）已知B液体的深度和容器的底面积，可求B液体的体积，再利用公式m=ρV可求B液体的质量．
（2）求出A液体的体积，知道两液体的质量相同，可求A液体的密度，将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，求出AB液体的深度，利用p=ρgh求AB液体对容器底的压强，而液体对容器底部的压强相等，据此得出甲球和乙球的体积关系；
根据容器高度和原来液体深度，可求两个容器增大的最大体积，即两球的最大体积，根据甲球和乙球的体积关系确定两球体积的取值范围．
【解析】

（1）B液体的体积：
VB=S乙h=2×10-2m2×0.1m=2×10-3m3，
∵ρ=，
∴B液体的质量：
mB=ρBVB=0.8×103kg/m3×2×10-3m3=1.6kg，
（2）A液体的体积：
VA=S甲h=1×10-2m2×0.1m=1×10-3m3，
∵mA=mB=1.6kg，
∴ρA===1.6×103kg/m3，
设甲球和乙球体积分别为V甲、V乙，
将甲球和乙球分别浸没在A、B两液体中，
A液体的深度：
hA==，
A液体对容器底的压强：
pA=ρAghA=1.6×103kg/m3×10N/kg×，
B液体的深度：
hB==，
B液体对容器底的压强：
pB=ρBghB=0.8×103kg/m3×10N/kg×，
使液体对容器底部的压强相等，pA=pB，
即：1.6×103kg/m3×10N/kg×=0.8×103kg/m3×10N/kg×，
∴V乙=4V甲+2×10-3m3，
甲球的最大体积：
V甲最大=S甲×（0.5m-0.1m）=1×10-2m2×0.4m=4×10-3m3，
乙球的最大体积：
V乙最大=S乙×（0.5m-0.1m）=2×10-2m2×0.4m=8×10-3m3，
∴V乙＜8×10-3m3，
V甲=＜=1.5×10-3m3．
答：（1）B液体的质量为1.6kg；
（2）甲乙两球的体积之间须满足的关系为V乙=4V甲+2×10-3m3，它们的取值范围V甲＜1.5×10-3m3、V乙＜8×10-3m3．