Question

如图是一种新型吊运设备的简化模型示意图，图中虚线框里是滑轮组（未画出），滑轮组绳子的自由端由电动机拉动．工人师傅用该吊运设备匀速打捞落入水中的圆柱形物体A．物体A的底面积为200cm²，高为8m．当物体A露出水面2m时，绳子用竖直向上T₁的力拉物体A，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力F₁为2400N，当物体A露出水面4m时，绳子用竖直向上T₂的力拉物体A，电动机对滑轮组绳子自由端的拉力为F₂，机械效率为82%．拉力F₂的功率为600w，已知T_I：T₂=39：41．不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦．（g=10N/kg），求：
（1）此滑轮组匀速上升的速度v；
（2）此滑轮组最高的机械效率．

Answer

（1）①已知物体的底面积和高度以及两种情况下露出水面的高度，利用阿基米德原理可以得到两种情况下物体受到的浮力；
②物体在水中受到三个力的作用：重力G、浮力F浮和滑轮组的拉力T，根据两种情况下拉力的比例关系已知，据此得到物重G；
③滑轮组对物体的拉力做的功是有用功，对物体的拉力做的功及克服动滑轮重做的功之和为总功，有用功与总功之比为机械效率．已知第二次的机械效率、物重和此时的浮力，从而得到动滑轮的重力；
④不计绳的质量，不计滑轮与轴的摩擦，作用在绳子自由端的拉力是滑轮组对物体拉力和动滑轮重的n分之一，已知第一次作用在绳子自由端的拉力和动滑轮的重力，可以得到作用在动滑轮上的绳子的段数n；已知作用在动滑轮上的绳子段数、物重、此时的浮力和动滑轮重，可以得到此时作用在绳子自由端的拉力F2；已知拉力的功率和拉力，利用公式v=得到手拉绳子的速度；已知手拉绳子的速度和绳子段数得到滑轮组上升的速度；
（2）在机械重一定时，物重越大，机械效率越大．当物体完全离开水面以后，滑轮组的拉力等于物体的重力，所以此时机械效率最大．
已知：S=200cm2=0.02m2  H=8m  h1=2m  h2=4m  ρ水=1.0×103kg/m3  g=10N/kg  =  η2=82%  F1=2400N  P2=600W
求：（1）v=？（2）η最大=？
【解析】

（1）①∵F浮=ρ液gV排
∴两种情况下物体受到的浮力分别为F浮1=ρ水•g•S•（H-h1）=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×（8m-2m）=1200N
F浮2=ρ水•g•S•（H-h2）=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.02m2×（8m-4m）=800N
②物体在水中匀速上升过程中，G=F浮+T
∴T1=G-F浮1，T2=G-F浮2
==
代入数值得=
解得G=9000N；
③∵η==
∴82%=
代入数值得82%=
解得G动=1800N；
④∵F=（G+G）
∴作用在动滑轮上的绳子是段数为n===4
第二次作用在绳子自由端的拉力为F2=（G-F浮2+G动）=（9000N-800N+1800N）=2500N
∵P=Fv
∴绳子自由端移动的速度为v===0.24m/s
∴滑轮组匀速上升的速度为v物=v=×0.24m/s=0.06m/s；
（2）滑轮组的最大机械效率为η最大===×100%≈83%．
答：（1）此滑轮组匀速上升的速度为0.06m/s；
（2）此滑轮组最高的机械效率约为83%．