Question

我国北方常遭遇严重的沙尘暴天气．所谓沙尘暴可简化为如下情景：快速向上刮起的大风将大量沙尘颗粒扬起后悬浮在空中（不动），这时风对沙尘的作用力与沙尘的重力平衡，其作用力大小可近似表达为，其中ρ为空气密度，S为沙尘颗粒的横截面积，v为风速．如果沙粒的密度ρ_沙为3×10³千克/米³，沙粒半径r为2.5×10^-4米，地面的空气密度ρ为1.25千克/米³，那么要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为    米/秒．假设空气密度ρ随地面高度h的变化关系如图所示，那么当地面风速为8米/秒时，当地沙尘暴的最大高度为    米．（沙粒可近似看成球体，且体积V=）

Answer

沙尘颗粒受竖直向上的风力f与竖直向下的重力G作用处于平衡状态，由二力平衡条件知，重力G和风力F相等，列出等式，解方程求出风的速度；由平衡条件求出风速为8m/s时空气的密度，由图象求出空气密度随高度变化的关系，然后由空气的密度求出沙尘暴的高度．
【解析】
沙尘颗粒受重力G=mg=ρ沙Vg=ρ沙g与空气作用力为=ρπr2v2作用而平衡，
在地面附近空气密度ρ=1.25kg/m3，由平衡条件得：ρ沙g=ρπr2v2，
则v==≈4m/s；
当风速v=8m/s时，由ρ沙g=ρπr2v2，得：ρ===0.30625kg/m3=（ρ）；
由图象知，密度ρ与高度h是一次函数关系，设关系式是ρ（ρ）=kh+b，
将h=0，ρ=1代入得：1=b；将h=5，ρ=0.4代入得：0.4=5k+1，解得：k=-0.12；
所以ρ与h的关系式是ρ（ρ）=-0.12h+1；h=km≈6.292km=6292m．
故答案为：4；6292．