Question

如图是某港口卸载货物的简易装置示意图．该装置由悬挂机构、提升装置和行走装置三部分组成．悬挂机构由固定杆OF和杠杆BD构成，O为杠杆DB的支点．配重E通过绳子竖直拉着杠杆D端，行走装置K安装在杠杆DB上，电动机Q可以使其沿BO水平滑动，行走装置和提升电动机及定滑轮的总质量m_K是动滑轮质量的2.5倍．当行走装置处于杠杆DB上M点的位置时，提升电动机拉动绳子，通过滑轮组竖直打捞落入水中的货物A．A完全在水中匀速上升的过程中，提升电动机绳子的拉力为F₁，滑轮组的机械效率为η₁=87.5%，OD：OM=1：2，地板对配重E的支持力为N₁；A全部露出水面匀速竖直上升的过程中，提升电动机绳子的拉力为F₂，滑轮组的机械效率为η₂，当A静止后，电动机Q启动，水平向左拉动行走装置至点C（图中未标出），使物体静止在海岸上方，以方便卸载货物，此时OD：OC=5：2，地板对配重E的支持力为N₂．滑轮组提升A的过程中，行走装置受到的水平拉力始终为零，杠杆DB在水平位置平衡．已知提升电动机输出功率恒定，A在水中与出水后匀速运动速度v₁：v₂=5：4，A的体积是配重E的体积的2倍，配重E的金属密度是物体A的密度的6倍，细绳和杠杆的质量、滑轮与轴的摩擦、水对物体的阻力均忽略不计，g取10N/kg．求：
（1）打捞前后提升电动机绳子的拉力F₁与F₂的比值；
（2）货物A打捞出水后的机械效率η₂；
（3）货物A出水前后地板对配重E的支持力N₁与N₂的比值．

Answer

（1）根据电动机输出功率恒定及A在水中与出水后匀速运动速度v1：v2=5：4进行分析，其中P===Fv，因为由3段绳子承担物重，绳端速度是物体上升速度的3倍；
（2）对物体A在水中和在水外时对物体E、行走装置及杠杆进行受力分析，并列出相等的关系式，结合已知条件得出浮力及A的重力与动滑轮之间的关系，代入公式η=×100%=×100%，求出η2，注意其中的关系F1=（GA-F浮+G动），F2=（GA+G动）．
（3）由杠杆平衡条件列出2个关系式，结合（2）中的分析得出N1、N2与动滑轮重力的关系，求出其比值．
【解析】
（1）电动机输出功率恒定，∴F13v1=F23v2，其中v1：v2=5：4，
∴F1：F2=4：5 
（2）当物体A完全在水中时，对行走装置、电动机、定滑轮进行受力分析，如图1所示，对E进行受力分析，如图2所示，对杠杆进行受力分析，如图3所示：

则：FM1′=GK+3F1，N1+FD1′=GE，FD1•OD=FM1•OM，
其中FM1′=FM1，FD1′=FD1，η1=87.5%，OD：OM=1：2，
F1=（G动+GA-F浮）
η1=
当物体A在水外时，对行走装置、电动机、定滑轮进行受力分析，如图4所示，对E进行受力分析，如图5所示，对杠杆进行受力分析，如图6所示：

则：FC2′=mKg+3F2，FD2′+N2=GE，FD2•OD=FC2•OC，
其中FC2′=FC2，FD2′=FD2，OD：OC=5：2，
且：VA=2VE，ρE=6ρA，得GE=3GA，F1：F2=4：5，得：
GA=9G动，F浮=2G动，
∴η2=×100%=×100%=×100%=90%；
（3）由（2）中关系式知，
（GE-N1）OD=（GK+3F1）OM，
（GE-N2）OD=（GK+3F2）OC，
OD：OM=1：2，OD：OC=5：2，GA=9G动，F浮=2G动，
F1=（GA-F浮+G动），F2=（GA+G动）
则N1=6G动，N2=22G动
∴N1：N2=6：22=3：11
答：（1）打捞前后提升电动机绳子的拉力F1与F2的比值是4：5；
（2）货物A打捞出水后的机械效率是90%；
（3）货物A出水前后地板对配重E的支持力N1与N2的比值是3：11．