Question

如图所示为一种蓄水箱的放水装置，AOB是以O点为转轴的轻质杠杆，AO呈水平状态，A、O两点间距离为40cm，B、O两点的水平距离为10cm，B、O两点的竖直距离为7cm．A点正下方的Q是一个重为5N、横截面积为200cm²的盖板（盖板恰好能堵住出水口），它通过细绳与杠杆的A端相连．在水箱右侧的水平工作台上，有一质量为60kg的人通过滑轮组拉动系在B点呈竖直状态的绳子，从而可以控制水是否能从出水口流出．若水箱中水深为50cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F₁，工作台对人的支持力为F_N1；若水箱中水深为100cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F₂，工作台对人的支持力为F_N2．已知F_N1与F_N2之比为69：77，盖板的厚度、绳重及滑轮的摩擦均可忽略不计，人对绳的拉力与人所受重力在同一直线上，取g=10N/kg．求：
（1）当水箱中水深为50cm时，盖板上表面所受水产生的压强；
（2）人对绳子的拉力F₁的大小；
（3）若与杠杆A、B两端连接的细绳足够结实，而人拉滑轮组的绳子所能承受的最大拉力为330N，则为能实现使用图中的装置放水，水箱中水的最大深度不得超过多少？

Answer

（1）已知水的密度和深度，利用公式p=ρgh得到盖板上表面受到水的压强；
（2）（3）分别以盖板、动滑轮和人为研究对象，进行受力分析，根据合力为零和杠杆平衡条件列出等量关系式求解拉力的大小．
已知：h1=50cm=0.5m  ρ=1.0×103kg/m3  g=10N/kg   S=0.02m2  G板=5N  lA=40cm=0.4m  lB=10cm=0.1m  h2=100cm=1m   FN1：FN2=69：77
求：（1）p=？（2）F1=？（3）h最大=？
【解析】
（1）盖板上表面所受水产生的压强
p1=ρ水gh1=1.0×103kg/m3×10N/kg×0.5m=5000Pa．
（2）盖板、动滑轮和人的受力情况如下图：

水深h1=50cm时，盖板受到水产生的压力
FQ1=P1S=5000Pa×0.02m2=100N．
当盖板恰好要被拉起时，受力情况如图甲所示．根据平衡条件，可知A端绳的拉力FA1=FQ1+G板=100N+5N=105N．
此时作用在杠杆A端的拉力F'A1=FA1=105N．
根据杠杆平衡条件可知，此时作用在B端绳上的拉力FB1=•F′A1=×105N=420N．
根据力的作用的相互性可知，此时连接B端的绳对动滑轮C的作用力FC1=FB1=420N．
设动滑轮所受重力为G动，其受力情况如图乙所示，根据平衡条件对动滑轮应有5F1=FC1+G动．
此时人的受力情况如图丙所示，因F1=F'1，根据平衡条件对人有
FN1=G人+F1-m人g+（FC1+G动）
同理，当水深h2=100cm时，盖板受到水产生的压力
FQ2=p2S=ρ水gh2S=1.0×103kg/m3×10N/kg×1m×0.02m2=200N．
当盖板恰好要被拉起时，绳对杠杆A端绳的拉力F'A2=FA2=FQ2+G板=200N+5N=205N．
此时作用在B端绳上的拉力FB2=•F′A2．=×205N=820N
作用在动滑轮C下端的作用力FC2=FB2=820N．
根据平衡条件对动滑轮应有5F2=FC2+G动．
此时绳对人的拉力F'2=F2，所以根据平衡条件对人有FN2=G人+F′2=m人g+（FC2+G动）
依题意知FN1：FN2=69：77，联立可解得G动=30N．
所以F1=（FC1+G动）=（420N+30N）=90N．
（3）设拉力F3=330N时，水箱中水的最大深度为h3时盖板恰好能被拉起．
通过上述分析可知，此时作用在动滑轮C下端的力
FC3=5F3-G动=5×330N-30N=1620N．
此时作用在杠杆A端的拉力F′A3=•FC3=×1620N=405N．
根据平衡条件可知，当盖板恰好要被拉起时A端绳对它的拉力
FA3=FQ3+G板=F'A3，因为FQ3=ρ水gh3S，所以可解得
h3===2m．
答：
（1）盖板上表面所受水产生的压强为5000Pa．
（2）人对绳子的拉力F1为90N．
（3）水箱中水的最大深度不得超过2m．