Question

为了测定某种合金材料制成的球形工件的比热容，可以先将工件均匀加热到不同温度，然后将其置于0℃的大冰块上，分别测出工件陷入冰中的深度h，如图所示．己知：当工件初始温度分别为t₁=75℃和t₂=100℃时，对应工件陷入冰中的深度分别为h₁=13.6cm，h₂=16.7cm，球的体积V_球=πr³，工件的密度约为冰的3倍．设实验过程中环境温度恒为0℃，不计热量损失．冰的熔解热λ=3.34×10⁵J/kg．试求该材料的比热容C．

Answer

（1）设工件的半径为r，则V=πr3，截面积为：S=πr2，
那么第一次熔化了的冰的体积为V1=S（13.6cm-r）+πr3，第二次熔化了的冰的体积为V2=S（16.7cm-r）+πr3，
求出熔化了冰的体积差，再利用密度公式求熔化了冰的质量差，可求两次冰吸收的热量差．
这个热量差应该等于两次工件放热的差，列方程求解．
（2）根据第一次热平衡，列出方程cm球△t1=πr2（h1-r）+πr3
根据第二次热平衡，列出方程cm球△t2=πr2（h2-r）+πr3，可求r大小，代入（1）中c的表达式得解．
【解析】

设工件的半径为r
则V=πr3，截面积为：S=πr2，
那么第一次熔化了的冰的体积为：
V1=S（13.6cm-r）+πr3，
第二次熔化了的冰的体积为：
V2=S（16.7cm-r）+πr3，
熔化了冰的体积差为：△V=V2-V1=πr2（16.7cm-r）+πr3-πr2（13.6cm-r）-πr3=3.1cm×πr2；
熔化了冰的质量差：
△m=ρ冰×3.1cm×πr2；
两次冰吸收的热量差为：
△Q吸=λ×ρ冰×3.1cm×πr2=3.34×105J/kg×ρ冰×3.1cm×πr2．
这个热量差应该等于两次工件放热的差：
△Q放=c×3ρ冰V工件（100℃-0℃）-c×3ρ冰V工件（75℃-0℃）=c×3ρ冰×πr3（100℃-0℃）-c×3ρ冰πr3（75℃-0℃）=c×3ρ冰×πr3×25℃．
由题知，△Q吸=△Q放，
即：3.34×105J/kg×ρ冰×3.1cm×πr2=c×3ρ冰×πr3×25℃-----③；
根据第一次热平衡，列出方程：
cm球△t1=πr2（h1-r）+πr3----①
根据第二次热平衡，列出方程：
cm球△t2=πr2（h2-r）+πr3------②
②×3-①×4，化简并得到：
r=12h1-9h2=12×13.6cm-9×16.7cm=12.9cm；
代入③得：
c≈802J/（kg•℃）．
答：该材料的比热容为802J/（kg•℃）．