Question

如图甲所示，底面积为80cm²的圆筒形容器内装有适量的液体，放在水平桌面上；底面积为60cm²的圆柱形物体A悬挂在细绳的下端静止时，细绳对物体A的拉力为F₁．将物体A浸没在圆筒形容器内的液体中，静止时，容器内的液面升高了7.5cm，如图乙所示，此时细绳对物体A的拉力为F₂，物体A上表面到液面的距离为h₁．然后，将物体A竖直向上移动h₂，物体A静止时，细绳对物体A的拉力为F₃．已知F₁与F₂之差为7.2N，F₂与F₃之比为 5：8，h₁为3cm，h₂为5cm．不计绳重，g取10N/kg．则液体的密度是      kg/m³，物体A的密度是      kg/m³．

Answer

1.2×103；2.8×103．

【解析】

试题分析：（1）先根据容器的底面积和上升的高度求出物体的体积，然后根据浮力的大小（F1与F2之差）求出液体的密度；

（2）若求物体的密度，就必须利用“F2与F3之比为5：8”，物体全部浸没时，F2为F1与F浮的差，而将物体提升h2后，F3为F2与此时物体所受浮力的差，那么求出提升h2后，物体A排开液体的体积，即浸没在液体中部分的体积为解答此题的关键；

首先将研究对象简化，在图乙中，物体完全浸没时，以物体A的底面所在平面为参考面，在提升物体前后，此面以下的液体体积不会发生变化，所以可以先不予考虑；那么参考面以上部分，物体和液体的体积总和在提升物体前后始终不变，可利用这个等量关系来列出方程求得提升物体后，物体浸没在液体中的高度，进而可求出这部分的体积大小，即：排开液体的体积，由此整个题目的未知量全部求出．

【解析】

（1）vA=80cm2×7.5cm=600cm3，

则物体A的高度为：hA===10cm；

因为物体在空气中静止时，绳子的拉力等于物体的重力即F1，

又因为F1与F2之差为7.2N，

因此物体在液体中受到的浮力等于7.2N；

即7.2N=ρ液gvA

7.2N=ρ液×10N/kg×600×10﹣6m3

ρ液=1.2×103kg/m3；

（2）②如图乙，当物体A全部浸没在液体中时，以其底面所在平面为参考面，设其位置为e，那么在提出物体A时，在位置e以下的部分体积不再发生变化，因此不做考虑；

那么当物体A提起h2时，位置e以上的总体积保持不变，若设物体提起h2时，物体A在液面上的部分高度为xcm，那么以这个总体积不变作为等量关系，可列出：

S容器•（hA+h1）=SA•x+S容器•（hA+h2﹣x），即：

80cm2×（10cm+3cm）=60cm2×x+80cm2×（10cm+5cm﹣x）

解得：x=8；

那么此时，物体A浸入液体中的高度为：h=10cm﹣8cm=2cm．

③已知：完全浸没时细绳对物体A的拉力为F2与提升高度h2时细绳对物体A的拉力为F3的比值为 5：8，得：

（F1﹣F浮）：（F1﹣ρ液gv排）=5：8，即：

（ρAgsAhA﹣ρ液gsAhA）：（ρAgsAhA﹣ρ液gsAh）=5：8

解得：ρA=ρ液=×1.2×103kg/m3=2.8×103kg/m3．

故答案为：1.2×103；2.8×103．

【点评】本题综合考查了密度公式的应用和浮力公式的应用，在提升物体时，液面发生的高度变化是此题的一个难点．