Question

某工厂设计了一个蓄水池，如图25所示，水源A罐的液面高度h₁=3m，且保持不变．罐底有一个小出水口，面积为S₁，S₁=0.1m²．孔下通过一个截面积为S₂活塞与杠杆BC相连，S₂=0.24m²．杠杆可绕B端上下转动，另一端有一个中空的圆柱体浮子，横截面积为S₃，S₃=0.8m²，BO是杠杆总长的．原设计打算当杠杆水平时，浮子浸入水深为h₂，h₂=0.7m，活塞恰好能赌住出水口，但在使用时发现，活塞离出水口尚有一小段距离△h时，浮子便不再上浮，此时浮子浸入水深为h₃，h₃=1m，为了使活塞自动堵住出水口，只得将浮子的质量减去一部分，设减去的质量为m′．（g取10N/kg，杠杆水平时，认为BO仍是杠杆总长的，活塞及连杆和杠杆的质量均不计，杠杆所受浮力不计，浮子浸入水中体积变化引起的蓄水池液面变化忽略不计，ρ_水=1×10³kg/m³）试求

（1）按原设计活塞堵住出水口后，活塞受到水的压力为多大？

（2）求△h是多少？

（3）浮子应减去质量m′是多少？

Answer

（1）按原设计活塞堵住出水口后，活塞受到水的压力为3×103N；

（2）△h是0.1m；

（3）浮子应减去质量m′是92kg．

【解析】

试题分析：（1）利用p=ρgh计算活塞受到水的压强，然后利用p=计算活塞受到水的压力；

（2）活塞上升的高度即为O点上升的距离．杠杆由原来的位置到水平位置，浮子进入水中的深度由现在的深度h3上升到设计的h2，同时O点上升到D点．通过两次位置的变化，得到一对相似三角形，利用相似形的对应边成比例可以求得OD的长度，即活塞上升的高度．

（3）以倾斜的杠杆为研究对象，分析出对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子原来的重力．

以水平的杠杆为研究对象，分析出此时对杠杆的向上的作用力和对杠杆向下的作用力，并分别表示出来，利用杠杆的平衡条件将其联系在一起，求得浮子现在的重力．

两次重力之差即为减去的浮子的重力，从而得到减去的浮子的质量．

【解析】
（1）按原设计活塞堵住出水口时，活塞到A罐水面的高度h1=3m，

活塞受到水的压强：p1=ρ水gh1=1.0×103kg/m3×10N/kg×3m=3×104Pa，

活塞受到水的压力：F=p1S1=3×104Pa×0.1m2=3×103N；

（2）设浮子原来重力为G，杠杆平衡时处于倾斜状态，如图甲所示，

当杠杆由倾斜状态变为水平状态时，杠杆C端上升高度为hEC=h3﹣h2，

根据几何知识可知，△BDO相似于△BEC，

所以，==，==，

活塞上升高度△h=hDO====0.1m；

（3）①浮子减重前，根据上图可知，活塞到A罐水面的高度h′=h1+△h=3m+0.1m=3.1m．

此时O点受到的力：F压=ρ水gh′S2=103kg/m3×10N/kg×0.24m2×3.1m=7440N，

浮子受浮力和重力，设它们的合力为F合，方向竖直向上（只有浮子的合力方向向上时才能使杠杆平衡）．

根据杠杆平衡条件有：F合LBE=F压LBD，

所以

根据题意可知，此时浮子浸入水深为h3，此时浮子受到的浮力：

×0.8m2×1m=8000N

杠杆平衡时，以浮子为研究对象，浮子受到的合力F合=F浮﹣G，

则浮子原来的重G=F浮﹣F合=8000N﹣2480N=5520N．

②浮子减重后，杠杆平衡时，如图所示

活塞能堵住出水口，由1小题可知，O点受到的力F压′=3000N．

浮子减重后，设此时浮子受到的合力为F合′，

根据杠杆平衡条件有：F合′×LBC=F压′×LBO，

所以F合′=

根据题意可知，此时浮子浸入水深为h2，此时浮子受到的浮力：

F浮′=ρ水gS3h2=103kg/m3×10N/kg×0.8m2×0.7m=5600N

浮子减重后，设浮子的重为G1，

杠杆平衡时，以浮子为研究对象，浮子受到的合力F合′=F浮′﹣G1．

则浮子现在的重G1=F浮′﹣F合′=5600N﹣1000N=4600N

所以，浮子减去的重G′=G﹣G1=5520N﹣4600N=920N

浮子减去的质量m′===92kg．

答：（1）按原设计活塞堵住出水口后，活塞受到水的压力为3×103N；

（2）△h是0.1m；

（3）浮子应减去质量m′是92kg．

【点评】以杠杆的平衡条件为桥梁，将浮子受到的重力，浮力以及水池内水对活塞的压力联系起来，得到关于这几个力的方程，然后利用阿基米德原理将浮子受到的浮力表示出来，利用液体压强的特点和压力的计算公式将水对活塞的压力表示出来，即可求出浮子的重力．从而可以求得浮子减去的质量．

对浮子和活塞进行受力分析是解决此题的关键．