Question

如图甲，高度足够高的圆柱形容器，高处有一个注水口，以10cm³/s均匀向内注水，容器正上方天花板上，有轻质细杆（体积忽略不计）粘合着由两个横截面积不同的实心圆柱体组成的组合，此组合的A、B部分都是密度为0.8g/cm³的不吸水复合材料构成，图乙中坐标记录了从注水开始到注水结束的1min内，水面高度h的变化情况，根据相关信息，求：

（1）圆柱形容器的横截面积S：

（2）组合体B的质量m_B；

（3）分别在t₁＝18s和t₂＝43s时，杆对圆柱体组合作用力的大小之比F₁：F₂；

（4）在注水过程中，选取两个长为连续的26s的时段（两时段可部分重叠）计算在这两个时段内液体对容器底压强增加量比值的最大值。

Answer

（1）40cm2；（2）160g；（3）14：1；（4）24/17。

【解析】

(1)图乙知道，0～8s，水面上升的速度均匀，说明此过程水面在圆柱体B的下面，当t=8s时，刚好与B的下表面接触；所以，0～8s内容器中注入的水体积是：

V1 =vt1 =10cm3 /s×8s=80cm3 ，

由图乙知道，0-8s时，水面升高的高度是h1 =2cm，由于体积公式V=Sh知道，容器的底面积是：

；

(2)8s～28s是圆柱体B浸入水中的过程，t=28s时，B刚刚全部浸没；水面刚好与A的下表面接触；8s～28s时间内，注入的水体积是：

V2 =vt2 =10cm3 /s×（28s-8s）=200cm3 ，

由图乙知道，在8～28s时，水面升高的高度是：

h2 =12cm-2cm=10cm，

由于时间8s～28s是圆柱体B浸入水中的过程，t=28s时，B刚刚全部浸没；所以，B的高度是：

hB=h2 =10cm，

B圆柱体的体积是：

VB =S容h2 -V2 =40cm2 ×10cm-200cm3 =200cm3，

由图乙知道，28s～58s时间内，注入的水体积是：

V3 =vt3 =10cm3 /s×（58s-28s）=300cm3 ；

由图乙知道，28-58s时，水面升高的高度是：

h3 =22cm-12cm=10cm；

由于时间28s～58s是圆柱体A浸入水中的过程，t=58s时，A刚刚全部浸没；所以，A的高度是：

hA=h3 =10cm，

所以，A圆柱体的体积是：

VA =Sh3 -V3 =40cm2 ×10cm-300cm3 =100cm3；

根据题意知道，A、B部分的密度都是0.8g/cm3，由知道，组合体AB的质量分别是是：

，

；

重力分别是：

，

；

(3)由 知道，圆柱体AB的横截面积分别是：

由图乙知道，在t1＝43s时，B刚刚有一半浸没水中，即 ，此时B排开水的体积是：

此时AB圆柱体组合受到的浮力是：

，

所以，杆对圆柱体组合工件的作用力是：

F1 =（GA+GB）-F浮B =（0.8N+1.6N）-1N=1.4N；

由图乙知道，在t1＝43s时，A刚刚有一半浸没水中，即 ，此时AB排开水的体积是：

此时AB圆柱体受到的浮力是：

，

所以，杆对圆柱体组合工件的作用力是：

所以，在t1＝18s和t2＝43s时，杆对圆柱体组合作用力的大小之比是：

；

(4)由图乙知道，由于圆柱体在水中，所以，当容器容水的横截面最小时，液面上升高的高度最大，所以，在连续的26S内，

0～26s时液面上升的高度是：

；

8～34s时液面上升的高度是：

；

34～60s时液面上升的高度是：

所以，8～34s时之间的液面上升最快，34～60s之间的液面上升最慢，即两个时段内液体对容器底压强增加量比值是最大值

。

答：(1)圆柱形容器的横截面积是40cm3；

(2)组合体B的质量mB是160g；

(3)在t1＝18s和t2＝43s时，杆对圆柱体组合作用力的大小之比14：1

(4)在注水过程中，两个长为连续的26s的时段内液体对容器底压强增加量比值的最大值是24：17。