Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求证：函数在上单调递增；

（Ⅱ）若函数有三个零点，求的值；

（Ⅲ）若存在，使得，试求的取值范围.

Answer

 【解析】
（Ⅰ）…………………………………3分

由于，故当时，，所以，

故函数在上单调递增 ……………………………………………………………5分

（Ⅱ）当时，因为，且在R上单调递增，

   故有唯一解……………………………………………………………………7分

   所以的变化情况如下表所示：

x

0

－

0

＋

递减

极小值

递增

   又函数有三个零点，所以方程有三个根，

   而，所以，解得 ……………………………11分

（Ⅲ）因为存在，使得，

所以当时，…………12分

   由（Ⅱ）知，在上递减，在上递增，

   所以当时，，

   而，

   记，因为（当时取等号），

   所以在上单调递增，而，

   所以当时，；当时，，

   也就是当时，；当时，………………………14分

   ①当时，由，

   ②当时，由，

综上知，所求的取值范围为…………………………………………16分

数学附加题部分