Question

 如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,

∠BCF=，AD=，EF=2.

（Ⅰ）求证： AE∥平面DCF；

（Ⅱ）设，当取何值时，二面角A—EF—C的大小为？

Answer

 本题主要考查空间线面的位置关系，考查空间角的计算，考查空间想象能力和推理论证能力，同时也可考查学生灵活利用图形，建立空间直角坐标系，借助向量工具解决几何问题的能力．满分13分．

【解析】
（I）解法一：∵ 四边形ABCD是矩形，

                   ∴AB∥DC  ．  ………………    1分

              又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，

           ∴平面ABE∥平面DCF ．    …………   3分

              又AE平面ABE，

             ∴AE∥平面DCF ．          ………   5分

     解法二：过E作EG∥BC交FC于G，连结DG ，  ………1分

           ∵BE∥CF ，                     

       ∴四边形BCGE是平行四边形 ，         

        ∴EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

       ∴四边形ADGE也是平行四边形 ，         ………3分

         ∴AE∥DG  ．又AE平面DCF，DG平面DCF ，

       ∴AE∥平面 DCF ．                     ………5分

（II）解法一： 过E作GE⊥CF交CF于G，

    由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

    ∴EG=AD＝，又EF=2，   ∴GF=1 ．      ………………6分

∵四边形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ．

∵∠BCF=， ∴FC⊥BC，

又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴FC⊥平面AC ， ∴FC⊥CD ．                 …………7分

 分别以CB、CD、CF为轴建立空间直角坐标系．

设BE=m，由，得AB=m ．

∴ A（，m，0）,E(，0，m),F(0，0，m+1)，

∴=(0，-m ，m)，=（-,0,1）． …………8分

设平面AEF的法向量=(x，y，z)，

由·=0，· =0，得，∴ ，

令=，可得平面AEF的一个法向量=( ，， )．   ………10分

又=（0，m，0）是平面CEF的一个法向量,

 ∴     ,即， 解得=．

∴当的值为时，二面角A—EF—C的大小为 ．    ………………13分

解法二：过E作GE⊥CF交CF于G，

    由已知EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

     ∴EG=，又EF=2， ∴sin∠EFG= ． ……………6分

    ∵四边形ABCD是矩形，   ∴AB⊥BC 

 又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴AB⊥平面BF ．

过B作BM⊥FE交EF于M，连结AM，

则∠AMB为二面角A—EF—C的平面角，      ……… 8分

∴∠AMB= ．

由已知 ，设BE=m，则AB=m ，

∴BM= BE·sin∠MEB =BE·sin∠EFG= m .   ………………10分

在Rt△ABM中，tan=,∴=,∴ ＝.

∴当的值取时，二面角A—EF—C的大小为 .  ………………13分