已知椭圆
的中心为直角坐标系
的原点，焦点在
轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。
（1）求椭圆的方程；
（2）若
为椭圆上的动点，
为过且垂直于轴的直线上的点,
,求点的轨迹方程，并说明轨迹表示什么曲线。
已知抛物线
的焦点为
，其准线与
轴交于点
，以
为焦点，离心率为
的椭圆
与抛物线
在轴上方的一个交点为
。
（1）当
时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；
（2）用
表示点的坐标；
（3）是否存在实数，使得
的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由。
实验表明，某型号的汽车每小时的耗油量
（升）与速度
（千米/小时）的关系式为
，已知甲乙两地相距180千米，最高时速为
千米/小时。
（1）当车速度（千米/小时）时，从甲地到乙地的耗油量为
（升），求函数的解析式并指出函数的定义域；
（2）当车速为多大时，从甲地到乙地的耗油量最少？
如图，在长方体
中，
，点
在棱
上。
（1）证明：
；
（2）当点为线段的中点时，求异面直线
与
所成角的余弦值；
（3）试问点在何处时，平面
与平面
所成二面角的平面角的余弦值为
。
已知集合
，
。
（1）求
的一个值，使它成为
的一个充分不必要条件；
（2）求的取值范围，使它成为的充要条件；
（3）求
。
已知函数
（1）若
，求方程
有实数根的概率；
（2）若
从区间
内任取一个数，
从区间
内任取一个数，求方程有实数根的概率。
