Question

已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若，使成立，求实数的取值范围；

（3）若函数的图象在区间内恒在直线下方，求实数的取值范围。

Answer

【解析】
显然函数f(x)的定义域为………………1分

（Ⅰ）当时，，；……………2分

       由，结合定义域解得…………3分

     ∴的单调递增区间为，.……………………………4分

（Ⅱ）将化简得，∴有

令，则，由解得.…………6分

当时，；当时，

     故

∴，使成立等价于

即a的取值范围为……………………………8分

（Ⅲ）令，则的定义域为（0，+∞）.

……………………………………………9分

     在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于

在区间（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得极值点，，………………11分

当，即时，在（，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有

∈(，+∞)，不合题意；………………………………………12分

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；………………………………………13分

② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；……………………………………14分

要使在此区间上恒成立，只须满足，

由此求得的范围是[，].

综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.……16分