Question

 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

    如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE。

   （1）求证：AE⊥BC；

   （2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.

 

Answer

 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

证明：⑴因为BM⊥平面ACE，平面，

所以．……………2分

因为，且，平面EBC，

所以平面EBC．……………………………………………………………………4分

因为平面EBC，所以．………………………………………………6分

⑵取DE中点H，连结MH、AH．

因为BM⊥平面ACE，平面，所以．

因为，所以M为CE的中点．………………………………………………8分

所以MH为△的中位线．所以∥，…………10分

因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB，故∥．

因为N为AB中点，所以MH∥AN．

所以四边形ANMH为平行四边形，所以MN∥AH．………………………………12分

因为平面ADE，平面ADE，所以MN∥平面ADE．………………14分

    法二：取EB中点F，连接MF、NF

    同法意，可得M为CE中点。

    因为N为AB中点，所以NF∥AE，MF∥BC………………………………………8分

    因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，所以MF∥AD。

    因为NF、MF平面ADE，AD、AE平面MNF，

所以平面MNF∥平面ADE……10分

    因为MFNF=F，MF、NF平面MNF，所以平面MNF∥平面ADE…………12分

    因为MN平面MNF，所以MN∥平面ADE………………………………14分