Question

设数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和为S_n（n∈N*），已知点(a_n，4S_n)在函数f (x)=x²+2x+1的图象上．

（1）证明{a_n}是等差数列，并求a_n；

（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：＋≥；

（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由。

Answer

 【解析】
（1）∵ ，

∴   (n≥2)．

两式相减得．

整理得 ，

∵ ，

∴ （常数）．

∴ {an}是以2为公差的等差数列．

又，即，解得，

∴ an=1+(n-1)×2=2n-1．………………………………………………………4分

（2）由（1）知，∴ Sm=m2，Sp=p2，Sk=k2．

由

≥≥=0，

即≥．………………………………………………………………7分

（3）结论成立，证明如下：

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则，

∵

，

把代入上式化简得

=≥0，

∴ Sm+Sp≥2Sk．

又=

≤

，

∴ ≥．

故原不等式得证．………………………………………………………………14分