Question

        如图，四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，

DC=SD=2，点M在侧棱SC上，。

   （I）证明：点M是侧棱SC的中点；

   （II）求二面角S—AM—B的余弦值。

Answer

 方法一：【解析】
（I）证明：方法一：

设CM=x

由 底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD得：

又BC//AD

因为DC=SD=2，DC⊥SD

所以

所以，

因为

所以，

又，故点M是侧棱SC的中点；    …………6分

方法二：过点M作CD的平行线与SD交于N，过M作AN的平行线与AB交于E，]设DN=x，CM=

即得

   （II）取AM，SA的中点G，F连接BG，GF，BF

由于

又SA=AC=，所以

所以，就是二面角S—AMB的平面角

所以，二面角S—AM—B的余弦值为                ………………12分

方法二：（I）建立如图所示的直角坐标系D—xyz

设

由

所以，

又

由得

所以，（舍去）

故点M是侧棱SC的中点

   （II）方法一：由M（0，1，1），A（），得AM的中点

又

得  

所以，等于二面角S—AM—B的平面角

方法二：计算平面DAM和平面ABM的法向量（过程略）