Question

 如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视     图的侧视图、俯视图．在直观图中，是的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.

（1）求证：EM∥平面ABC；

（2）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面？ 若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.

(3)求二面角D—EB—A的大小的余弦值.

 

Answer

 解:由题意，Ea⊥平面ABC , DC⊥平面ABC ,AE∥DC,ae=2, dc=4 ,ab⊥ac,

  且AB=AC=2                                           ……2分

（1）证明：∵m为db的中点，取bc中点G，连接em,mG,aG，

∴ mG∥DC，且

∴ mG   ae，∴四边形aGme为平行四边形，         6分

∴em∥aG, 又AG平面ABC   ∴EM∥平面ABC.……4分

（2）由（2）知，em∥aG，

又∵平面BCD⊥底面ABC，aG⊥bc,∴AG⊥平面BCD

∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCD              

在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N,

∴MN⊥平面BDE  点n即为所求的点         .……6分

∵∽

  ∴ 边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM⊥平面BDE.   .…… 8分

(3)2，3问均可以用向量办法解决，

                第三问结果是                        …… 12分