Question

    如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足

   （I）证明：

   （II）当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角最大值的正切值；

   （II）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置。

Answer

 【解析】
（I）如图，以AB，AC，AA1分别为轴，建立空间直角坐标系

    则   2分

    从而

    所以   3分

   （II）平面ABC的一个法向量为

    则

    （※）   5分

    而

    由（※）式，当   6分

   （III）平面ABC的一个法向量为

    设平面PMN的一个法向量为

    由（I）得

    由   7分

    解得   9分

    平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

    解得   11分

    故点P在B1A1的延长线上，且   12分