Question

 点是抛物线上的不同两点，过分别作

抛物线的切线，两条切线交于点．

（1）求证：是与的等差中项；

  （2）若直线过定点，求证：原点是的垂心；

（3）在（2）的条件下，求的重心的轨迹方程．

Answer

 （1）对 求导 得，

所以直线，即

同理, 直线， 解得

所以是与的等差中项；                      （5分）

  （2）设直线，代入  整理得．

，得  

     即；

，      ，

，      同理，

所以原点是的垂心； （10分，只需证明两个垂直就得满分）

（3）设的重心，则

，

因为，所以点的轨迹方程为．               （15分）